Cos’è la fisica?
Posta la domanda in questi termini , la risposta non è facile. Poniamo la domanda in quest'atro modo: ...cos’è la realtà fisica? La parola realtà è sinonimo di concretezza, oggettività, materia, abilità, verità ecc.ecc.
Per esempio, possiamo dire che la verità è sempre ciò che i nostri sensi percepiscono? No. Se però diciamo verità fisica, limitiamo il campo di definizione. Allora la realtà fisica assume uno specifico significato. In una sola battuta diciamo che la realtà fisica è ciò che si sa. Si sa perché le nostre percezioni sono messi sotto il controllo della dura legge della sperimentazione riproducibile, dietro alla quale ci sono   modelli e/o  teorie matematiche.
Le nostre percezioni possono essere anche oggettive, ma questo non basta. Nella realtà fisica non esistono concetti a priori oggettivi. Per esempio è giusto dire un corpo ha sempre un peso? Cioè il peso è sempre una realtà fisica? No. Per la fisica, (ecco come la parola fisica inizia ad acquistare la vera definizione), il peso di un corpo è relativo. Infatti un corpo in caduta libera non ha peso.
È con Galilei che inizia la vera realtà fisica, vera, per cosi dire sotto molteplici versi, perché una esperienza potrebbe essere sempre perfettibile. È Galileo,nel 1600, infatti ad avere introdotto per la prima volta il metodo sperimentale.
Un esempio di perfettibilità. La teoria di Newton, seppure valida in molti campi, ( vedi missioni spaziali) , è stata superata dalla teoria generale della relatività di Einstein, che a sua volta potrebbe essere perfettibile. Attenti però! Stiamo lavorando sempre con ciò che si sa, anche se ciò che si sa è perfettibile. Dopo tutto esiste sempre la sperimentazione riproducibile nello spazio e nel tempo. In altre parole, continuando a coniugare la percezione dei sensi e la sperimentazione riproducibile, e/o dimostrando che certe teorie sono sbagliate, la conoscenza fisica migliora.
Chi sa che conoscenza dopo conoscenza, non si arriverà alla conoscenza assoluta? Per esempio, per l'impossibilità di poter dimostrare tutto attraverso la sperimentazione, un giorno forse si arriverà a dire che Dio esiste per davvero. Dio è infatti l’Assoluto, anzi l’infinito degli infiniti, per usare una definizione matematica, dovuta alla grande scoperta di Cantor.
Neanche la matematica, che tratta l’infinito, è capace di descrivere l’infinito degli infiniti, perché manca la dovuta certezza (Godel e poi Cohen). Per essere più precisi esiste il continuo oppure no? Si può solo rispondere cosi: esistono due matematiche, quella che tratta il continuo e quella del discreto: due matematiche però di pari dignità. La fisica si trova nell’impossibilità di trattare il nulla e l’infinito, in particolare quello Assoluto. Del resto la nostra intelligenza è capace di analizzare l’infinito potenziale, cioè quello che definisce una grandezza, grande, grandissima, a cui possiamo aggiungere altre quantità, una dopo l’altra, senza però riuscire mai a raggiungere l’infinito, quello attuale.
Cosi Cantor, senza dimostrazione, congetturò che l’ipotesi del continuo era vera. Kurt Godel ( 1940) dimostrò che la congettura di Cantor non può essere confutata. Infine Paul Cohen ( 1963) dimostrò che non può essere nemmeno dimostrata e la matematica del discontinuo è pure vera. ( vedi matematica ).

I numeri, tutti numeri reali ed immaginari, sono estrazioni mentali, ma non freddi numeri, o, quando presenti come variabili reali o immaginari nelle equazioni normali o differenziali, calcoli noiosi, anche se spesso molto laboriosi. La fisica, ma non solo,  tutti i campi del sapere scientifico hanno bisogno della matematica, addirittura l'universo lo possiamo definire matematico!

 Non ha caso, dicendo cos'è la fisica, ho scritto prima che esistono due matematiche, di pari dignità, quella del continuo e quella del discreto o discontinuo, perché, sorprendentemente, la fisica moderna, quella dei quanti ed delle onde, fa " vedere" che la natura si comporta  in due modo distinti e cosi contrapposti. Gli atomi,  i mattoni e nello stesso tempo il cemento per cosi dire  di tutta la materia, sono onde o corpuscoli. Molti obbiettano : ...." non è vero". Invece è vero. Anzi dirò la vostra obbiezione potrebbe essere giusta, nel senso che nessuno sa realmente cosa siano gli atomi. Nessuno ha mai visto un atomo, solo " l'occhio" e il linguaggio della matematica ci hanno dato una sua descrizione, a parte la sperimentazione eseguita per la prima volta da Rutherford, dalla quale poi nasce il modello planetario dell'atomo stesso, quello che la maggioranza delle persone pensa quando cerca di raffigurarselo. Ma altri modelli dell'atomo facevano seguito: il modello corpuscolare e il modello ondulatorio. Due modelli molto contrapposti oltre che astratti. Allora, sapendo ciò, Cos'è l'atomo o meglio i suoi costituenti, elettroni, protoni, neutroni? Onde o corpuscoli? Nessuno può dire so che cos'è un atomo. Possiamo solo dire che i suoi costituenti vengono fuori dal loro " nido", l'atomo,  o come onde o corpuscoli, solo e solo dopo un esperimento peraltro irripetibile. Nella sperimentazione  fotoelettrica,  " vediamo" gli elettroni comportarsi come corpuscoli, nella sperimentazione dell'interferenza vediamo gli stessi elettroni comportarsi come onde. Stesso ed uguale discorso vale per tutte le altre particelle. Eppure, l'atomo ha sicuramente una sua natura intrinseca. Il fatto è che nessuno la conosce. La sua natura intrinseca possiamo pensarla uguale ad una variabile " nascosta". Se un giorno qualcuno troverà tale variabile, il mondo microscopico in particolare, possiamo dirlo deterministico, a dispetto anche del principio di indeterminazione di Heiserberg. Di queste argomenti vogliamo parlare e fare vedere come la matematica  " vede" in fin dove nessuno occhio umano mai potrà vedere, a meno che i nostri occhi e poi il nostro cervello non subiranno un evoluzione tale da permetterci prima di vedere e, poi, il nostro cervello, di leggere persino i raggi o le onde gamma. Argomenti o fenomeni,descritti, si, attraverso modelli matematici, ma che presentano sorprendentemente implicazioni filosofiche: si potrebbe persino dire che tali fenomeni  naturali per come la fisica moderna li ha scoperti presentono aspetti per nulla diversi della natura indeterminata di Dio. In questo senso la scienza è in cammino verso la ricerca del  creatore dell'universo. Nessuno, neanche la fisica insieme alla matematica sanno di analizzare nè lo zero ( l'inizio del tempo) nè l'infinito. Oggi sappiamo, seppure con qualche incertezza, che l'universo ebbe un inizio, ma la realtà fisica ha per cosi dire il suo inizio da un universo molto piccolo, ma non zero, all'incirca pari alla costante h  di Planck, che unisce tempo ed energia o spazio e quantità di moto in un rapporto inversamente proporzionale, con certa incertezza, naturalmente.

La fisica quantistica inizia con Plank. . Già Newton aveva pensato alla luce costuita come un insieme di corpuscoli, granelli di luce, ma Christian Huygens sosteneva che fosse un fenomeno ondulatoria, a sostegno di questo Thomas Young dimostrò sperimentalmente il fenomeno dell'interferenza, che a sua volta veniva successivamente confermato da Maxwell. Tutto  si svolgeva a favore della natura ondulatoria della luce. Il  fenomeno luce, anzi quello di tutto spettro elettromagnetico, sembrava tutto chiuso. Per farla un pò breve per il momento, a sorpresa Luiss De broglie  scopre che non sola luce si comportava come onde ma tutti i corpi piccoli e grandi si comportano come onde. Era per certi versi comprensibile pensare alla luce oltre che come onda anche come un grumo di energia, ma era impensabile pensare, per esempio, che un elettrone, un vero "punto" di massa, si comportasse pure  come un'onda. Fatto è che la sperimentazione   diede ragione a Luiss de Broglie. Ricordiamo il grande contributo di Einstein: prima con la sua scoperta che l'energia e la  massa sono equivalenti o che massa, tolte le cariche, è energia e viceversa, poi con la scoperta del fenomenico fotoelettrico. Il quadro  con Plank, Einsten e De Broglie, era pronto per prendere la sua cornice ed altri dettagli  che lo rendessero più piacevole con tocco di magico e tanto di mistero. Il magico rimane, perche tutti ancora oggi vorremmo avere il cervello magico per vedere dentro un atomo, dentro un protone, dentro ad un neutrone senza però usare nessun mezzo o apparato elettronico, ma solo per via telepatica, e, se volete, per via delle nostre fulminee intuizioni. A proposito di intuizioni e di quanti di luce o di flusso continuo di luce.
Forse la luce arriva ai nostri occhi come flusso continuo e poi nel nostro cervello si rivela come quanti di luce? Le nostre intuizioni, anche i nostri ricordi, sembrano emergere improvvisamente più come quanti   che come onde di luce. Quello che più mi stupisce sono i ricordi più remoti, per esempio quelli della nostra infanzia, che all'improvviso sembrano emergere  dal nulla cosi nitidi e chiari. In ciò io vedo  del magico

Mentre il mistero è tutt'altra cosa, pensò rimarrà per sempre: questo è un aspetto che va al li là del magico, che trascende tutto .... penso che abbiate capito a CHI alludo.

Penso che a questo punto possiamo scendere più nel pratico, facendo entrare in scena anche  il linguaggio sublime della matematica, avvertendo, fin dove è possibile, non volendo qui scrivere come si fa nei libri veramente didattici. Comunque cercherò di essere più chiaro possibile anche se si rendesse  necessario ripetermi.

Iniziamo in ordine cronologico, prima con Plank, fisico tedesco, poi con Einstein e poi con Louis victor De Broglie.

All'inizio del 1900 Plank annuncia una delle più belle scoperte, quella natura quantistica di tutto lo spettro elettromagnetico. La luce visibile e non visibile esce ( o è assorbita) dagli atomi (più precisamente dai suoi costituenti, elettroni, protoni, neutroni) a grumi ( quanti) di energia.

Quanti di energia si comportano per cosi dire come i numeri naturali 1,2,3...N, non 1/2 o 1/5 di un quanto, non frazioni di numeri interi,  ma come  unità intera o multipli dell'unità.

In questa legge di natura vediamo in opera la matematica del discontinuo. La natura portava ( porta) o meglio ancora si presenta discontinua;  sorprendentemente esisteva già la matematica del discontinuo o discreta. A tale proposito, chi ancora non conosce le serie numeriche, un invito a studiarle.

Prima di presentare la serie inventata  da Plank per scoprire che l'energia  esce  ( o assorbita) dagli atomi a quanti, voglio  evidenziare prima  la semplicità dell' equazione risultante di Plank E = N f h  venuta fuori dalla  complessità della materia attraverso la matematica. In altre parole, è quello che voglio evidenziare: alla nostra vista la materia sembra  assai complessa, e lo è, ma la magia della matematica la riporta ogni tanto alla luce semplice ed elegante. Ecco un altro esempio della potenza della matematica. Essa sembra proprio il linguaggio iscritto  nella  natura stessa.
 

Oggi ho fatto la mia parte, a domani.........pregasi segnalare eventuali errori, grazie
 

Oggi parleremo come Plank è pervenuto alla  legge :

E = n h f
 

prima di tutto scriviamo la legge statistica di Maxwell, che è

n = n 0 e - E/KT
che rappresenta il numero di molecole ( in generale particelle) aventi una determinata energia cinetica ( vedi anche legge statistica di Boltzmann)
Dato che Plank seguiva la logica della fisica classica, si è servito di questa formula statistica.
Però Plank ebbe l'idea di sostituire E = energia cinetica con n h f, per cui:
n = n 0 e - nhf/KT con n = 1,2,3.....
in pratica considerò gli atomi, quindi i suoi costituenti ( elettroni, protoni, neutroni) come particelle oscillanti ( oscillatori).
Era già noto dalla fisica classica che l'energia era legata alla frequenza, per cui l'energia per esempio di un atomo ( il discorso può essere ripetuto per qualunque particella) poteva essere uguale a En = n h f con h costante da determinare e con n = 1,2,3.......n
 

Questa era l'idea di base: la più ardita!!
 

E' logico che in un sistema di n particelle, non tutte oscillano allo stesso modo.
vi possono essere:
n1, con energia E1, n2, con energia E2 e .... cosi via
n1 =e - hf/KT n2 = e - 2hf/KT
numero n totale delle particelle è :
n= n1+ n2 +........... e cosi via
sostituendo si ha:
n = n0 ( 1+e-hf/KT+e-2hf/KT+.........+e-nhf/kT)
questa è una serie geometrica, la cui la somma è:

n= n0/(1-e-hf/kT) (1)

Il resto, credo, fosse più facile, nel senso che era più logico pensare che non tutti gli atomi o particelle ( uso la parola particella solo per semplicità) avessero lo stesso stato di energia. Ci potevano essere per esempio particelle con energia E1 ... e cosi via, dunque si scrive l'energia totale E di un sistema ( di un corpo) uguale a:
E = +n1 , E1 +..................+nEn
Con E1 = hf,.......... En = n h f
sostituendo si ha:

E = n0 hf e -hf/kT( 1+ e-hf/KT + 2 e-2fh/KT + 3 e-3fh +.......) ( A)

Questa è una bella serie, bisogna saperla maneggiare: sono i coefficienti 2,3.......n che danno un pò di problemi. Naturalmente conoscendo bene il calcolo delle serie, è necessario individuare un'altra serie di confronto la cui somma è maggiore
Infatti se una serie più grande,rispetto alla piccola, converge, di conseguenza e maggior ragione convergerà la serie più piccola, non vi pare?
la serie più grande e quella che meglio si presta per essere maneggiata è questa:

E = n0 hf e -hf/kT( 1+ e-hf/KT + e-2fh/KT + e-3fh +.......)2 ( B)

La serie A è minore della serie B ....basta sviluppare il quadrato del polinomio e poi confrontare (è sufficiente considerare i primi 3 o 4 termini per rendendersi conto, cioè il quadrato del trinomio o del quadrinomio)
Essendo la serie dentro le parentesi tonde una serie geometrica, la sua somma è :

E= (n0 hf e -hf/kT)1/(1-e-hf/kT)2 (2)

dalla 1 il numero n, abbiamo visto, è :
n= n0/(1-e-hf/kT)

infine dividendo ambo i membri della 2 per numero n totale, si trova l'energia media totale, ovvero:

Em= hf 1/(ehf/kT-1)
Oggi ho fatto la mia, a domani............. segnalare eventuali errori ...domani ritorno
oggi è un altro giorno.
Proseguendo con la formula di Plank, osserviamo che al denominatore compare la potenza efh/kT, che formalmente uguale a ex, che può essere sviluppata in serie cosi:
ex -1= x+x2/2!+x3/6!+...........
Trascurando i termini al secondo membro tranne x, si ha
ex-1=x =fh/kT.
Inoltre notiamo il rapporto fh/kT, se la temperatura è alta e la frequenza f è piccola, possiamo porre efh/kT-1=1, per cui avremo:
Em = fh
che è l'energia minima di un solo quanto ( mai mezzo quanto, attenti!!!!!), emessa o assorbita da un atomo
Prima di fare altre considerazioni in merito alla legge di Plank, voglio ribadire quanto è potente la matematica.Dovete sapere che Plank era più un teorico, non più di tanto abituato passare il suo tempo nei laboratori sperimentali.Era un pensatore, uno che amava ragionare e pensare con la propria testa. Nonostante conoscesse la matematica, tuttavia non sperava di raggiungere un risultato tale che, una volta completata la sua teoria matematica, sarebbe poi confermata dalla sperimentazione. Si sbagliava: la sua teoria si dimostrò sorprendemente costretta. Senza che lui ci credesse, la matematica, patroneggiata correttamente e contemporaneamente con gli "occhi" della mente diretti nella " mente" della materia, rivelò un pezzo di "mistero" di questa. Solo un pezzo, ma è già tanto. Un pezzo di mistero, perchè la matematica mostrò solo come i quanti di energia veniva fuori o sono assorbiti dalla materia dopo un esperimento. Non ci rivelò il perchè la materia si comporta cosi in modo strano e cosa nasconde in seno. Grazie Plank, tuttavia ancora oggi sappiamo, che l'energia elettromagnatica è anche quantizzata, cioè esce, o è assorbita, in modo discontinuo.
La matematica del discontinuo esiste, funziona ancora bene, salvo prova contraria, che non c'è.
Esiste, invece, l'altra matematica, di pari dignità, quella del continuo,applcata alla teoria ondulatoria della luce di Maxwell, che dominava incontrastata prima di Plank.
A questo punto, senza entrare in merito, voglio solo ricordare alcune leggi riguardanti l'energia raggiante ( la termodinamica delle radiazioni) che esistevano prima della grande scoperta di Plank, quali:
la legge di Kirchoff sul potere emissivo e assorbente,( vedi pure definizione di Corpo nero), la legge di Stefan-Boltzmann, di Wien, la formula di Rayleigh-Jeans, la formula di Wien, la formula di Maxwell, della quale Plank si è servito.
E a proposito della Formula di Maxwell, confrontate il suo grafico ( la curva a campana) ), che rappresenta la distrubuzione del numero n delle molecole di un gas in funzione della velocità delle stesse, e dunque dell'energia cinetica, con la curva sperimentale delle emessioni delle radiazioni, ovvero dell'energia w raggiante in funzione della lunghezza d'onda della stessa ad una determinata temperatura:.. è molto istruttivo.
Einstein.
Il fotone di Einstein.
Einstein scopre e dice: un grumo di luce ( o di energia) è un fotone, due grumi di luce due fotoni........... e cosi via.
1,2,3,4.........n fotoni come i numeri naturali interi? Si. Allora i fotoni di luce, o più in generale i grumi di energia danno luogo ad un fenomeno discontinuo!
Si,danno luogo proprio ad un fenomeno discontinuo.
Quindi la teoria di Plank è corretta! Si, Plank non dovrà più "temere" la fisica classica: i fatti sperimentali sono una conferma.
Ma come è stato verificato che i grumi di energia o di luce visibile e non visibile sono fotoni= quanti?
E' avvenuto attraverso l'effetto fotoelettrico . scoperto dallo stesso Einstein e per quale Einstein ricevette il premio nobile
L'effetto fotoelettrico, intanto precisiamo, consiste nel potere che ha la luce di una determinata lunghenza d'onda, e quendi in corrispondenza di una ben definita frequenza, di provacare una emessione di elettroni da una superficie metallica (= topografica di atomi)
Gli elettroni di un atomo quando non disturbati sono li, nascosti,attorno al proprio nucleo, tranquelli con la loro energia intrinseca, la più minima possibile, che conferisce loro uno stato energetico legato ed unico.In quell'istante in cui " decise" di legarsi al nucleo l'ha fatto liberando all'esterno una certa energia, quella in più che gli " permetteva" di trovare un stato più tranquillo e di pace. Se dall'esterno riverà energia, pari a quella liberata, elettroni sarò costretto, contro la sua volontà naturale, di ritornare libero, saltando fuori dal suo nido con certa velocità, e quindi con certa energia cinetica 1/2 v2.
In termini matematici questa descrizione si esprimerà nel modo seguente:
E = V e + 1/2 v2 (C)
leggasi cosi: E= energia totale immessa= energia necessaria per strappare l'elettrone dal legame con il nucleo + l'energia cinetica che consente all'elettrone di volare via
Sorprendentemente, l'elettrone in questione non assorbirà energia qualsiasi, ma una ben definita e precissima energia, provata sperimentalmente pari propria a quella prevista da Plank, E= hf. Per cui la C la possiamo riscrivere cosi:
hf = V e + 1/2 v2
che è la formula di Einstein
hf è il grumo di energia ( fotone) incidente che urtando contro la superficie metallica si ripartisce tra l'energia di estrazione dell'elettrone ( V.e) e l'energia cinetica.
la verifica sperimentale è avvenuta dopo 11 anni per merito di Millikan e da qui a poi la natura quantistica dello spettro elettrogmatico è verificata, a dispetto di quella ondulatoria, rimasta allo stato classico
..............ma di sorprese la natura ne tiene sempre in serbo!!............
Il bello ancora dovrà avvenire..... .......Dove sei Louis De Broglie?... Fatti vedere!............
Prima di fare entrare in scena Louis De broglie, voglio segnalare, intanto, che dopo l'effetto fotoelettrico di Einstein un altro esperimento consegui a confermare la propagazione della luce sotto forma di quanti ( nfh) o di fotoni: mi riferisco all' effetto di Compton ( 1923)
L'effetto Compton non peteva essere spiegato attraverso le teorie ondulatorie della luce, ma solo considerandala a quanti ( nfh). Cosicchè, l'effetto compton, oltre a sancire la natura corpuscolare dello spettro elettromagnetico, la rafforza.
Cosa pensò il fisico, Compton: immaginò, seguendo Einstein, come una palla da biliardo, un fotone, che poteva colpire un elettrone, un'altra palla. L'elettrone, provò Compton, ricevendo ( assorbendo) una parte di energia si metteva in moto, mentre il fotone veniva rimbalzato via seguendo un'altra direzione. Il fatto che il fotone potesse muoversi stava a dimostrare che non tutta la sua energia incidente veniva assobita dall'elettrone; mentre nell'effetto fotoelettrico, il fotone cedeva tutta la sua energia all'elettrone, in altre parole lo ingoiava tutto intero, e ingoiandolo diventava frenetico, di bollenti spiriti, anche per milliardesimi di secondo. Nel caso dell'effetto Compton, dunque, se l'energia inziale del foteone era hf, dopo urto con l'elettrone, di conseguenza poteva muoversi solo con diversa frequenza, non potendo la costante h di plank modificarsi, in quanto, a punto, è una costante. In termini matematici possiamo esprimere ciò cosi:
hf = hf* +mc2 ( D)
tenendo conto che un fotone corre alla velocità della luce, qui,io ho immaginato l'elettrone fermo prima dell'urto con il fotone. ( preciso: anche un elettrone "fermo" contiene energia , ciò, per la verità, vale per tutti i corpi, quindi dovevo aggiungere al primo membro l'energia da fermo, lo faremo più in là )
Adesso, "rubando" per cosi dire prima idee di Einstein e poi quelle di Compton, possiamo fare delle deduzioni nostre. Che tipo di deduzioni?
Le seguenti: se i fotoni sono palline, la fisica classica ci insegna che una pallina in moto ha una quantità di moto, che non può possedere un'onda. E sapendo che la quantità di moto e l'energia sono parenti stretti. infatti questa parantela la possiamo tradurre in termini matematici cosi:
E= 1/2v2 = 1/2 (mv)2/m = 1/2 p2/m, per cui:
E= 1/2p2/m
di Coseguenza la D, cioè ..... hf = hf* +mc2....la possiamo scrivere:
hf = hf* +(p)2/m
con p = quantità di moto, vettore risultante.
Stiamo ragionando in pieno accordo con la fisica classica, quindi valgono le leggi dell'urto tra i corpi, visto che anche il fotone è un corpuscolo, quindi possiamo aggiungere alla suddetta equazione una seconda equazione applicando il principio della conservazione della quantità di moto, ovvero:
pif = pe +pff
leggasi cosi:
quantità di moto iniziale del fotone = quantità di moto dell'elettrone dopo l'urto + quantità di moto finale del fotone
Poichè la relazione tra frequenza e lunghezza d'onda era nota, cioè:
f.L = v
da cui
f= v/L
Fermiamoci qui per il momento, invece diciamo cosa ha scoperto anche Einstein di cosi importante
Diciamo subito che, avendo Einstein scoperto che la velocità della luce c è una costante universale, ha fatto nascere con penna e con la sua mente la relatività ristretta. Nella relatività ristretta vi è un fattore che matte in relazione due tempi t,T diversi, due spazi s e S diversi, la massa m in moto con la massa a riposo mo: questo fattore è :
1/(1-v2/c2)1/2
Pertanto nel caso della massa, la relazione tra massa in moto e la massa a riposo è:
m = mo /(1-v2/c2)1/2
avendo trovato, Einstein, questa relazione tra massa in moto m e la passa a riposo, non gli veniva difficile trovare il lavoro, ovvero l'energia cinetica L di una massa m in moto con velocità v: tutto si riportava come da fisica classica, con un'importante differenza, cioè che la m non più costante. Pote scrivere,lavoro = :
dL= dE= d(mv)/dt ds
integrando questa equazione differenziale, abbrevviando, ottenne:
E = (m-mo)c2
essendo c la velocità della luce una costante, di conseguenza energia E e variazione di massa (m-mo) sono due quantità direttamente proporzionali, e a meno della costante c, massa ed energia sono equivalente, potendo porre c=1, viene fuori che l'energia E è uguale alla variazione di massa (m-mo).
In altri termini la massa si trosforma in energia e viceversa, ....l'energia si trasforma in massa,..... ancora se la massa è espressa nell'unità misura in kg l'energia si pesa pure in kg,........ se l'energia, ancora, è espressa in j la massa si può espremire in J..... mi pare di essere stato chiaro
essendo l'energia direttamente proporzionale alla massa, possiamo scrivere cosi:
variazione: (var.E) =(var.m)xc2
In generale diciamo :
ENERGIA E ..........equivalente ............alla massa
Ciò in forma matematica:
E = mc2
fermiamoci qui, cosi facciamo "parlare" un po Louis Victor de Broglie
Oggi ho fatto la mia parte, a domani..........pregasi nel frattempo segnalare errori...grazie
oggi è un altro giorno..............
Voglio qui prima ricordare una cosa che riguarda me, quando ero ancora adoloscente.
Un giorno mio padre mi portò in campagna. Era ancora buio. Arrivati in campagna, io ancora mezzo addormantato, mi adagia, ricordo benissimo, con le spalle contro il tronco di una pianta di ulivo rivolto verso est. Mi addormentai. Ad un certo punto svegliandomi all'improvviso mi trovai davanti il sole, una grande palla ancora rossa: era l'alba. Rimasi colpito. Cosi continuando ad ammirare il sole, vedeno i suoi raggi colpire i miei occhi. Mi dicevo...pensavo....vedevo ...immaginavo i raggi del sole come palline una dopo l'altra, insomma tantissime palline in fila che colpivano i miei occhi.....ciò mi colpi tanto che ancora oggi, ripeto, ricordo. Non è una bugia,... è verissimo
Cosa voglio dire con questo mio raccolto accadutami realmente.
Immaginare la luce come palline non è una cosa strana, anzi penso che sia più realistico e comune immaginare la luce come palline che come onda.
Quello che non sarebbe assolutamente comune immaginare un corpo come onda, a cui di conseguenza verrebbe associata una lunghezza d'onda.....eppure Louis Victor de Broglie ( 1892-1987) ebbe l'ardire di pensarlo.
e di Luiss de broglie che oggi vogliamo parlare .
Era l'anno 1923-24, Louis Victor de Broglie dice: i corpi,tutti i corpi,piccoli e grandi sono o si comportano pure come onde!!!!!!
E' possibile che corpi si comportano pure come onde?...... E'impossibile. Invece è possibile, ripete de Broglie nella sua tesi di dottorato del 1924. Vi faccio vedere come e perchè!
1) Einstein ci insegna che l'energia è equivalente alla massa m, attraverso la bella e quanto semplice equazione:
E= m c2
2) inoltre sappiamo che la frequenza e la lunghezza d'onda sono legate tra loro dalla seguente equazione, anche semplice:
fL = c
3) Plank infine ci insegna che i grumi di energia sono quanti, e scrive:
hf = E
poichè ...... E= m c2,........ segue che:
hf = m c2
e poichè ........fL = c .......segue che:
m c2 = c/Lh .......quindi:
mc = h/L..............= quantità di moto......da cui segue che....:
L= h/mc
essendo h, c costanti, alla massa m è associata una lunghezza d'onda L, come si legge benissimo. Inoltre essendo quantità di moto mc ( o p= mv) e e lunghezza d'onda L sono inversamente, ad ogni variazione di L corrisponderà una variazione di p, per cui:
(var.L)x(var.p) = h = costante.................che
............(attenzione!)...... non può mai essere zerò..........perchè se ciò accedesse tutto l'edificio della fisica quantistica crollerebbe!!!!
Della brllante intuizione di de Broglie restava solo conferma sperimentalmente, che avvenne 1925,grazie ai fisici Davisson e Germer, i quali constarano che gli elettroni effettivamente davano luogo alla figura di diffrazioni. Cosi agli elettroni ( a tutte le particelle) è associata una lunghezza d'onda ( L=h/mv).
poichè la lunghezza d'onda, associata agli elettroni, è qualcosa di esteso con continuità, .......l'esteso non può essere ridotto ad un punto materiale ( massa degli elettroni),... e.... dunque non localizzabile. ........non vi sembra giusto?
....non solo è cosi, ...ma poichè gli elettroni in movimento, per la verità sono sempre moto, non si fermano mai, "trasportano" quantità di moto,.. anzi sono essi stessi quantità di moto p= mv,.....a cui, come si vede, è associata la velocità v, per cui, non potendoli localizzare,.. non è, neanche, possibile calcolare la loro velocità con precisione assoluta....non vi pare giusto?
Non potendo precisare nè la posizione x, nè la velocità v, e quindi la quantità di moto p,.......queste tre quantità, x,v,p possiamo ritenerle o chiamarle VARIABILI DINAMICHE non osservabili ( = non misurabili)
Pausa..........perchè gli elettroni devono essere sempre in movimento?
Se un elettrone si fermasse, avremmo, dalla relazione L = h/mv, una lunghezza d'onda L infinità, ..il che significa un'energia infinita, perchè una lunghezza d'onda L, dopo tutto, non è una lunghezza astratta, ma una realtà fisica, dunque "costruita" con energia...ovvero... essa stessa è energia.
Dicevano, riprendendo il discorso, La sperimentazione arrivò, e l'idea di de Broglie risultò vera
Come la mattiamo, ora?
infatti:
A) ci troviamo di fronte l'idea di Plank che è vera;
B) ci troviamo l'idea di de Broglie che è pure vera;
in altre parole ci troviamo di fronte a due idee vere, ma assai lontani, contrapposti, per non dire assurde......eppure la sperimentazione dice che sono vere.
.........seguiranno molte discussioni, confronti, all'interno della comunità scientifica dell'epoca, 1924 in poi..
Nessuno però riusci, ancora oggi, a dimostrare che è impossibile che tutti gli oggetti, non solo i fotoni, gli elettroni, i neutroni, i protoni, la luna, le stelle, insomma tutte le cose si manifestano in due modi distinti e lontani.... ...come onde e come corpi
Non due comportamenti degli oggetti insieme: una volta escono come onde .....un'altra volta....come corpi
E' come se gli atomi, i suoi costituenti, avessero coscienza...... Per esempio, ...Io nel mio laboratorio eseguo un esperimento, magari cercando di ingannare gli atomi o i suoi costituenti,.... ...ma loro, gli atomi, non si fanno ingannare e come se mi dicessero,.... leggendo i miei pensieri, ....ci facciamo vedere come onde, perchè tu stai cercando il fenemeno dell'interferenza: noi, gli atomi, facciamo nascere sul tuo schermo una bella figura di interferenza.........ci hai messo un ostacolo davanti e noi lo raggireremo, travestendoci da onde. Voi tu ( io) usare i fotoni, anzichè gli elettroni, ...farlo pure, sembrano dirmi...........noi ( tutti i corpi o energia) non facciamo distinzioni.......
Riepilogando, se idee, quella di Plank e quella di de Broglie, sono vere, e lo sono, ci chiediamo cos'è per esempio un elettrone? Un'onda o è un corpuscolo?
L'apparato sperimentale, come già ribadito più volte, ci dice che sono entrambi, onda e corpuscolo.
Tuttavia,noi, gli elettroni (ciò vale per tutte le particelle, in particolare) li vediamo uscire, dal proprio atomo, o come onde o come corpuscoli
Da qui a poco vedremo come l'idee, sopra esposte, trodotte in linguaggio matamatico si collegheranno l'una con l'altra: e un susseguirsi di idee nuove nascerà dalla mente di altri fisici, come per esempio dal fisico Schrodinger, Heiseberg e cosi via.
La natura presenta il fenomeno ondulatorio, e la matamatica contiene la funzione specifica per descriverlo: y=senx o/e y=cosx
Tra le funzione che descrivano il fenomeno ondulatorio la più generale possibile è quella che combina i numeri reali e quelli immaginari, che è:
f(z)= cosz+isenz = eiz =ei(x+iy)
E' noto anche che, dalle equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali, le possibili soluzioni possono essere:
reali concidenti,distini ed immaginari
Prima di procedere con l'intento di entrare nel cuore della fisica quantistica-ondulatoria, parliamo un pò delle onde
un'onda, fisicamente, è un mezzo continuo,mentre dal punto di vista matematica è una funzione continuo, periodica, cioè che ripete se stessa ogni 2pigreco.
le caratteristiche fondamentali sono due, la lunghezza d'onda L e la frequenza f. La frequenza è legata al tempo t, e quindi all'energia (E=fh); mentre la lunghezza d'onda, essendo appunto una lunghezza, è legata allo spazio , diciamolo x. e poichè de Broglie ci dice che la lunghezza d'onda è espressa in funzione dalla della quantità di moto p, spazio e quantità di moto sono " parenti" stretti
Concludendo guardano i fenomeni dal punto di vista della fisica quantistica-ondulatoria, l'energia è legata al tempo, la quantità di moto allo spazio : questi, energia e quantità di moto, a loro volta,
sono legati tramite l'equazione m= m 0/(1-(v/c)1/2 moltiplicata per c2 ovvero:
mc2= m 0c2/(1-(v/c)1/2..............dalla quale si ottiene:
E= c( (moc)2+p2)1/2
Pertando una funzione d'onda y, sia dal punto vista fisico sia matematico, dipende da due varibili, ovvero y= f(x,t).
Ragioniamo ancora un pò classicamente, se facessimo "scomparire" il tempo t, cioè potendolo t=0, avremmo un'immagine statica dell'onda. Cosicchè noi, potremmo "vedere" ciò che un punto p ( materiale, per esempio un "grumo di energia, un elettrone") ha descritto. Per farmi meglio capire, immaginiamo di fotograre la luna. La macchina fotografica, lasciandola accesa per esempio per due ore, seguirà la luna istante dopo istante, per cui alla fine avremmo un fotogramma, che rappresenta la traiettoria della luna. Il fotogramma, sappiamo, è un'immagine statica.Se invece siamo noi a fissare il " punto", luna, vedremmo come varia la sua posizione istante dopo istante t.
Ammettiamo all'istante t la luna si troverà nella posizione x, diciamo nel punto A ...dopo un tempo tf, sarà nella posizione x1, diciamo B . il tempo t , per percorrere con velocità v il tratto A-B è : t , = x/v
sottraendo dal tempo totale, cioè il tempo che occorre a che il corpo si sposti dall'origine al punto finale B, il tempo t ,= x/v, si otterrà il tempo a che il corpo percorra il tratto OA, ovvero:
y= sen 2pigreco/T(t-x/v)
cosicchè abbiamo costruito la funzione che descrivere un fenomeno ondulatorio dipendente dal tempo t e dalla posizione x.
Nota Bene: a rigore, secondo la fisica quantistica, neanche la luna è possibile localizzarla con precisione assoluta: vedremo come e perchè più in là
Nel caso di un elettrone, non solo è infinitesimo rispetto alla luna, ma non sappiamo quale sia la sua natura intrinseca. Sappiamo solo, dopo un esperimento, che può venire fuori dal suo atomo o come corpuscolo o come onda. Ma nessuno è entrato dentro un atomo, cioè ci manca l'origine e, per cosi dire, la partenza. Attentezione ora! Per calcolare la sua posizione finale, dobbiamo conoscere sia la sua posizione sia la sua velocità, iniziali. Però Però non sapendo cosa è realmente un elettrone, per deduzione logica, non sarà possibile conoscere la sua posizione e velocità inziali con precisione assoluta.
In parole povere, l'elettrone o qualunque altra particella rimangono nascosti. La porola Nascosta in termini matematici, la possiamo porre uguale a variabile nascosta
Dopo questi ultimi richiami di fisica classica, intercalandoli " timidamente" con la nascente fisica quantistica-ondulatoria, voglio fare altre precisazioni attraverso le quali, oltre a tentatare di eliminare eventuali confusioni che potuto creare, richiamando insieme concetti di fisica classica e moderna, cercheremo di " impadronirci della matematica che usò schrodinger per costruire la sua equazione differenziale riguardante le onde per cosi dire "quantistiche".
Siamo arrivati al punto di dire, con tanta confusione ancora in testa, che tutti i corpi, in particalari quelli del microuniverso, vengono fuori dal loro " nido" o come onde o come corpuscoli..................che confusione!!! ........quando tutto, con la fisica classica, sembrava ben determinato, prima Plank e poi de Broglie, anzichè rafforzare il determinismo, invece il tutto ci appare indeterminato e persino, a dire poco, incomprensibile.
Allora la domanda che ci poniamo è questa:
Come ha fatto Schrodinger a scrivere la sua equazione d'onda, essendosi persi i modelli, per cosi dire, visibili dell'atomo, quello per esempio come un sistema planetario?
Certo, anche la matematica contiene numeri "comprensibili"! Quali? Numeri immaginari! Cosa sono infatti i numeri immaginari, se non grandezze non ben definiti, oltre che astrazioni?
Una mente fantasiosa potrebbe pensare: L'universo è incomprensibile, almeno una parte, e numeri imaginari sono pure "incomprensili", naturalmente dal punto di vista fisico . Allora vediamo se, ragionando e mescolando insieme numeri reali ed immaginari, sia possibile descrivere l'universo incomprensibile, quello nascosto?
E' quello che Schrodinger fece. Bisogna aggiungere,per la verità, che Schrodinger pensava alla fisica classica, Tuttavia quasi per magia ottene un'equaziale differenziale, le cui soluzioni sono in grado di descrivere tante cose, come per esempio la spiegazione della tavola periodica, i legami atomici e molecolari
Riprendiamo la funzione d'onda complessa............ f(z)= cosz+isenz = eiz =ei(x+iy)
Inserendo, prima, z=2pigreco/T(t-x/v)
f(Z)= ei(2pigreco/T(t-x/v))
tenendo conto che .......... L= h/p,....... 1/vT= 1/L e ..........1/T = f= E/h.....sostituendo si ha
f(Z)= ei(2pigreco)(Et/h-px/h))
Ora derivando rispetto alla variabile t e poi per la variabile x, otteniamo:
i/h(2pigreco)E.f(z) = df(z)/dt ......(1).......e..........................-ip/h(2pigreco)(df/dx) = df(z)/dz.......(2)
sviluppiamo la derivata seconda della seconda equazione, ovvero:
(2pigreco)2(ip/h)2 f(z)= (d2f(z))/(dz2).............(3)
l'energia totale,sappiamo, è
E=p2/2m + V(z) ...............(4)
Isolando l'energia totale E dalla 1, poi isolando dalla 3 la quantità di moto p, sostituendo e semplificando, si otterrà la seguente equazione differenziale complessa:
ih/(2pigreco) df(z)/dt = -(h/2pigreco)2(d2f(z))/dz2+V(z)f(z)
Questa è l'equazione differenziale complesso delle onde, nella quale la funzione f(z) dipende dalla variabile spaziale z =x+iy e dal tempo t.
Ora poniamoci due domande. Questa equazione è esatta? Se è esatta come facciamo a verificarla, tenendo conto anche dal fatto che Plank ci ha fornito una descrizione corpuscolare dell'energia, come abbiamo visto? Possiamo rispondere cosi: nessuno sa se questa equazione differenziale, in cui peraltro, compaiano i numeri complessi, sia realmente corretta. E allora come la mettiamo? In nessun modo dal punto di vista matematico ( da qui a poco, vedremo in che senso) , solo la sperimentazione ci dice che essa descrive l'universo microscopico in modo soddisfacente, ma non in modo assoluto. Ma l'apparato sperimentale non è equiparabile alla matematica del continuo o del discontinuo, del resto abbiamo detto che la sperimentazione ci fornisce valori soddisfacenti ma non assoluti, anche se poi, ciò che conta, è il valore sperimentale e nessuna altra cosa. Ciò nonostante permangono delle incertezze o delle certezze discutibili, che, come vedremo mano mano, si prestano persino ad implicazioni di natura filosofica, che, io personamente, le ritengo altrentanto fondamentali per quello che è il vero senso della vita, vista in un constesto globale, perchè dopo tutto di questo si tratta e di cui non possiamo, a rigore, prescindere. Tuttavia visto che non possiamo conoscere il tutto, ci acconteremo di piccoli passi o di indizi più o meno corretti...e cosicchè noi " correremo" dietro, indizio dopo indizio per raggiungere una migliore conoscenza. Per cui rimanendo più nel concreto , cercheremo di indagare ciò che l'equazione di Schrodinger ci fornisce di interessante: nel farlo dobbiamo saperla maneggiare. Intanto bisogna conoscere le funzioni a variabili complesse, che qui non è possibile fare tutta la loro trattazione, mi limetero di riportare le cose più essenziali, che peraltro sono collegate a nozioni elementari della matematica o della fisica-matematica, come vedremo.
Senza entrare ancora in quello che l'equazione differenziale di Schrodinger ci fornisce più squisitamente della realtà fisica, ci presteremo ad analizzarla dal punto di vista matematico, come se fosse una normale equazione differenziali: quindi dobbiamo trovare le sue soluzioni.
Non potendo qui fare tutti i passaggi algebrici, peraltro non sempre possibile, per arrivare alla soluzione o alle sue soluzioni, facciamo finta di avere trovato una soluzione, la più semplice per brevità,in seguito fornirò quello che bisgnerà conoscere o fare per risolvere, ( non sempre possibile correttamente, volgono le approssimazioni), l'equazione di Schrodinger. Posso solo dirvi che l'ho risolta una sola volta e ho trovato lunghe e complicate passaggi algebrici. Tuttavia ho potuto gustare e conoscere la matematica più avanzata e complessa.
Ammettendo allora che una delle soluzioni di Schrodinger, indipendente dalla variabile temporale t, sia la seguente
f(z) = r ei(nx/l)...............(D)
= soluzione a variabile complessa,... un normale numero complesso anche se variabile, della quale noi, naturalmente, prenderemo il valore reale
in essa sono "iscritti" un angolo o un argomento o anomalia e un vettore r. Conoscendo infatti il vettore r ( posizione) e l' angolo, nel piano complesso, è possibile individuare la posizione di un punto ( fisicamente una particella di massa m o un grumo di energia,.... ahime che bestemmia!!!)
l'argomento è nx/l = fase ; il mudolo del vettore è |r ei(nx/l)| = | f(z)| = r
Mentre se moltiplichiamo f(z) per la sua coniugata si ottiene:
................... r ei(nx/l). r e-i(nx/l)= r2.................che è uguale..........=| f(z)|2
Se il punto, nel piano complesso,diciamo ( x,y) fosse per esempio un elettrone di massa m, secondo la fisica classica, noi sapremmo dove si troverà nello spazio complesso o di Riemann ( spazio a quattro dimensioni, x,y, u, v, per chi conosce l'analisi delle funzioni complesse sa che è cosi).
Poichè dal di vista fisico l'elettrone è due cose, onda e particella, che noi, esseri mortali, non capiamo cosa voglia dire, ciò mi ricorda per certi versi ciò che la teologia chiamo bilocazione, con la differenza, che nella bilacozione una stessa persona si può trovare in due posti differenti, mentre l'elettrone, si può trovare nello stesso posto in due modi diversi e contrapposti, onda e particella: per noi invece, o onda o particella. E' un vero mistero,... come è un mistero ciò dice la teologia.In questo almeno la fisica quantistica-ondulatoria vi assoglia di più alla teologia, più di quanto non lo sia la fisica classica, almeno per quello che rigurada il mistero.
Lasciamo perdere, per il momento, le implicazioni filosofiche, ritorniamo alla matemetica.
dal punto di vista matematico una particella è indivuata nel piano dal vettore posizione e da un angolo, nello spazio da un vettore e da due angoli, vedi coordinate polari.
Domanda: dal punto vista più prettamente fisico o fisico- matematico, quali sono quelle quantità vettoriali corrispondenti che ci permettano non solo di indivuare una particella di massa m, ma anche le loro qualità intrinsiche. Le qualità intrinsiche sono l'energia o la massa e le cariche, dette quantità scalari: come queste si distribuiscono nello spazio ce lo dicono la quantità di moto p o il suo "parente", cioè il momento della quantità di moto M, entrambi grandezze vettoriali. Ci dobbiamo attendere, quindi, che r corrisponda a p o M, e l'angolo o anomalia c racchiuda le quantità scalari, energia o massa. Infatti l'angolo è legato alla frequenza, e la frequenza all'energia. Poichè energia e massa sono equivalenti, l'angolo ci fornisci il contenuto energetico. Per comprendere meglio, e per capire come p o M sono collegati all'energia o alla massa m, ragioniamo cosi: una rotazione comporta lavoro, e quindi un contenuto energetico. Inoltre una rotazione comporta un cammino, una descrizione di un arco ds. Poichè ds= rdc si comprende che energia-quantità di moto o energia-momento di quantità di moto sono tra loro legati: se anche r è variabile, si è invece in presenza di un moto rototraslatorio.
Un argomento prettamnente geometrico o matematico l'abbiamo ricondotto ad unica a realtà fisica = energia, naturalmente più cariche.
Dopo tutto, l'UNIVERSO è ENERGIA+CARICHE
Detto ciò e ammettendo che la nostra soluzione D provenga dalla seguente equazione differenziale:
-h2/2m d2f/dx2= Ef(x)
Infatti derivando la D, sostituendo e semplificando, si otterà E, che è uguale a:
E= ( n h)2/8ml2................con n = 0,1,2,3........N
come si vede compare oltretutto la costante h di plank
per n= 0 implica.................E=0.....................soluzione impossibile, perchè, a parte altro, non può esistere nessuna particella con energia zero.
per n= 1 implica................E= stato fondamentale. ....
......................... Fermiamoci, senza ancora entrare nel merito.
Mentre vogliamo esaminare meglio la soluzione dell'equazione differenziale.
l'equazione-soluzione ( di cui si prenderà la parte reale) = f(z) = r ei(nx/l)
Effettivamente descrive un'onda o un certo numero N onde, con n =1,2,3.......
Però..... C'è un però. Perchè accettando come valida questa soluzione significherebbe invalidare la legge di Plank, secondo la quale l'energia è quantizzata
Detto in altro modo significherebbe dire che la costante di plank h=0. Dire h=0, di conseguenza f(z) diventerebbe anch'essa ZERO. Non rimarebbe nulla.
Dopo tutto, lo stesso Schrodinger considerò h diverso da zero, e l'ha assunta per costruire la sua equazione.
E allora, quale significato potrebbe avere l'equazione differenziale di Schrodinger, visto che, per altri versi, le sue soluzioni danno volori conforme alla sperimentazione, spiega per esempio la tavola periodica degli elementi
Per comprendere meglio l'equazione di schrodinger, dobbamo ritornare a de Broglie e alle sua idea ardita, nella quale cioè gli elettroni, riconosciuti sempre come partielle, vi sono le onde o, con parole suggestive, nella testa di de broglie gli elettroni diventano onde, come i fotoni, che oltre ad essere corpuscoli, sono anche onde di luce.
Ciò, ovvero la luce vista sia come corpuscoli che come onde, è indizio, una parte fondamentale, che favorisce l'idea ardita di de Broglie:un punto, in altre parole, di partenza.
Allora, attenti quello che ora diciamo del fotone!!!!!!!!!!!!!!!! Il fotone ha massa a riposo nulla.....
Avendo massa a riposo nulla non si ferma mai.......sempre dinamico LUI.......
infatti l'enegia relativistica totale = dall'energia di moto + l'energia a riposo= ( massa a riposo per la velocità della luce)
Soppressa la massa a riposo, rimane l'energia di moto, cioè quella cinetica. Ecco perchè il fotone non è mai a riposo......Ma non si stanca mai?
E' una legge di natura che il fotone, nel vuoto, viaggia sempre alla velocità c = costante
Per l'elettrone come la mettiamo?
L'elettrone, invece, ha una massa m diverso a zero a riposo
Ipotizzandolo fermo, cosa succede?
Accade che la sua quantità di moto p si annullerà!!!!!
Non è possibile!!!! Poichè la quantità di moto hf = h x c/L = m c2........, annullandosi, segue che.....
h/L = mc = p = 0..............o .... L = h/p.......... ne consegue che la lunghezza d'onda L diventa infinita!!!!!!!!!
non è possibile, perchè una lunghezza d'onda infinita comporterebbe un'energia infinita......non vi pare? E' qui che de Broglie si rese conto che qualcosa non funzionava bene. Cosa pensò allora de Broglie, per eliminare tale paradosso? Guardò gli elettroni come fotoni, infatti fotoni non si fermano mai, e si comportano, peraltro, pure onde.
Pensati come onde gli elettroni, avranno quindi una velocità di fase ( si chiama velocità di fase, perchè la velocità deriva, appunto, dalla fase ........non vi pare corretto?......
essendo, per definizione, la fase (= x/L-ft) = argomento del seno o del coseno, e per definzione, la lunghezza d'onda, quella lunghezza L che congiunge due creste o due gole o, in altre parole, due massimi o due minimi;
e poiché ci riferiamo alla lunghezza d'onda L, di conseguenza ci dobbiamo riferire alla velocità con la quale i punti massimi o minimi dell'onda si propagono. Pertanto, la velocità di fase (= x/L-ft) è quella per la quale la derivata della funzione sen(x/L-ft) rispetto al tempo o alla posizione si annulla ( cond. necessaria di max o di min.), ovvero:
fase= x/L-ft= o .............da cui............c= L/t = L f = L(E/h) = (L/h)mc2 .........h= Lmc .......L=h/mc= L/p ...
che corrisponde all'equazione vista sopra. Dunque riferondosi all'elettrone a riposo, è proprio la velocità di fase che non funziona per cosi dire
E allora cosa pensò de Broglie? ....pensò cosi....e dirà...... anzichè la velocità di fase, consideriamo la velocità di gruppo!!!!
Che cosa è la VELOCITA' di GRUPPO
Parola gruppo è sinonimo di un insieme di...elettroni, particelle ......e cosi via....che si propagono........ Dove però si propagono?......................o.....in mezzo DISPERSIVO ...o..... nel vuoto
Se un gruppo di elettroni o di fotoni viaggerà in mezzo dispersivo la loro velocità dipende dal mezzo che attraverseranno, ...mentre nel vuoto hanno sempre la medesima velocità. Dunque nel vuoto non esiste alcuna differenza tra la velocità di fase o velocità di gruppo.
....... In mezzo dispersivo invece esiste differenza tra ........la velocità di gruppo e ..........velocità di fase:...... la velocità di gruppo = vg=v+df/dk,..........con k= 1/L = numero d'onda, e con f=kc (o=kv).. in mezzo dispersivo, può essere più grande o più piccola della velocità di fase
Cambia la velocità,... di conseguenza, ,,,,cambierà la frequenza, ....e poichè frequenza f e lunghezza d'onda sono inversamente proporzianali......cambierà anche la lunghezza d'onda L..... Non vi pare?
Dunque un gruppo di elettroni, come pensava de broglie, viggiando in mezzo dispersivo avranno velocità, e quindi frequenze e le lunghezze diverse.
Però esiste un modo per localizzare un gruppo di elettroni,... visti come onde,... che si muovano con la medesima velocità! quelli che raggiungeranno nello stesso istante lo stesso punto di una cresta ( massimo) o di una gola ( minimo), ........ avranno la medesima velocità di gruppo, .....dunque resteranno localizzate......non vi pare giusto? ..
Attenti,.. dirà de broglie.....sto trattando un gruppo di elettroni come onde.......e..per le onde vale il principio di sovraopposizioni!!
Quei elettroni( o onde) che raggiungeranno il punto massimo di una cresta nello stesso istante di sommano.......gli altri possono andare più veloci,.. altri meno veloci. .... o trovarsi più in basso o...... più in alto........,naturalmente in un mezzo dispersivo...
sembra dire de broglie ...a me interessa quel gruppo ( la velecità di gruppo) che arriverà nello stesso istante sul punto più alto (cresta) o più basso (gola)... non fa differenza,...........mi interessa, peraltro,... sembra dire.... de broglie quel gruppo di elettroni che sanno trasmettere un segnale, un impulso, che inizia ad un certo istante e che finisce in un istante successivo. E' cosi infatti che un segnale può essere trasmesso e poi recepito, ( vedi il modo per produrre il fenomeno dei battimenti, nel quale concorrono due o più onde tale da formare una " figura" simile ad una successione di nodi, schiacciati, a forma di sfera all'ullungata e schiacciata ai poli con un'entrata ed un'uscita,....insomma un contenitore di elettroni ( o di particelle), visti come onde) dentro i quali è racchiuso un pacchetto di onde o di energia,.... vedi meglio grafico prodotto da onde che camminano al passo con frequenze lievemente diverse
Già qui inizia ad intravedersi il concetto di probabilità ........non tutti gli elettroni ( o onde) in moto li troveremo sulla stessa cresta nello stesso istante....!
Però, se li, sulla cresta, vi sarà il massimo di interferenza .....è più probabile....trovarli li... .....proprio dove, ...se trattasi di onde di luce,..... vi si produrrà il massimo di luminosità..o... ..se trattasi di onde sonore,....la sensazione sonora massima.....
Penso, a furia di ripetermi, di aver reso l'idea di de Broglie.
Per ultimo, e concludo con de Briglie, riporto qui la matematica usata da de Broglie, che non è altro che la sintasi di quanto detto di lui:
...bene, ....de Broglie scrive.......:
velocità di gruppo .....vg = (df/dv)(dv/dk)................. ......(1)
scrive inoltre:
hf= E= mc2/(1-(v/c)2)1/2.....................(2)
..... inserisce la 2 nella 1 e infine, integrando, otterrà:
................................. hL= mv/(1-(v/c)2)1/2 = p......
la formula 2 altro non è che l'espressione energia-materia di Einstein, combinata con l'energia quantizzata di Plank.
Già Einstein, quando aveva indicato che la radizione termica, dentro una cavità, poteva avere sia proprietà ondulatorie che corpuscolari. Ciò era una sorte di profezia, un indizio, afforzato dal fatto che l'energia è equivalente alla massa, che aveva in sè, ancora in forma embrionale, l'unificazione di due concetti, quella dell'energia, vista più come fenomeno tipicamente ondulatorio che corpuscoli, questi però era invertibile per cosi dire, in quanto essi ( i corpuscoli) al loro volta non erano altro che energia concentrata.Il altre parole parole, le onde erano sinonimi di corpuscoli; e dopo tutto gli elettroni, per esempio, non sono altro che grumi di energia concentrata e tenuta come tale dalla carica elettrica.
Tutto ciò venne rafforzato e convalidato da de Broglie, da cui poi segui la meccanica ondulatoria di Erwin Schrodinger con la sua, ancora misteriosa, equazione differenziale, contenente il numero complesso i, dalla quale, dunque, le soluzioni complesse. E, Delle soluzione complesse oggi vogliamo parlare
Come si sa una funzione complessa f(z) è un unione di parte reale e una immaginaria, come abbiamo visto prima, e che qui riportiamo:
f(z) = r ei(x-y) = r ex .e-iy
Come si può notare, è il prodotta di un numero reale per numero immaginario, entrambi variabili.
Ci domandiamo: che cosa è un numero complesso? Ha, per caso, un significato fisico?......... Questo è un primo interrogativo.
Nessuno, fino a prova contraria. Sappiamo solo che i numeri complessi dal punto di vista matematico hanno la Stessa " dignità" dei numeri reali.
E allora, primo punto, cosa rappresentano le soluzioni, più propriamente, dell'equazione differenziale di Schrodinger? Rimane ancora un mistero.
Come?.... Un mistero?.........vien da chiedersi...... Si un mistero.......ciò nonostante l'equazione di Schrodinger, ancora oggi, spiega brillantemente non solo il fenomeno ondulatorio di tutte particelle, non solo degli elettroni; ma non solo, spiega anche i legami atomici e molecolari.
Però, sappiamo che modulo di una funzione complessa da una lunghezza, mentre il prodotto tra la funzione complessa e la sua coniugata, da un numero reale ( anche variabile).....primo punto
cosi abbiamo, per cosi dire, scoperto che almeno il suo modulo da un numero reale e che il prodotto tra la funzione e la sua coniugata da una funzione quadrata, quindi sempre positiva, che hanno o meglio si prestano ad un'interpretazione fisica.
Inoltre da essa possiamo ricavare l'argomento, l'angolo o l'anomalia= fase................secondo punto.
Avere un mudulo, in termini vettoriale, significa avere la lunghezza di un vettore ( posizione),.... dunque con una lunghezza e un angolo ( anche due angoli) cosa possiamo sapere?
.......E' possibile individuare una punto P nello spazio......Non vi pare? .........già, ...un punto nello spazio.....vero.........Però! .....fisicamente un punto è una particella o un grumo di energia....vero...
.....vero, fino ad un certo punto.......perchè le particelle possono essere punti ma ....anche ...onde, ...peraltro onde o particelle solo dopo un esperimento
E un' onda è un qualcosa di esteso.....e se volete, per rendere meglio l'idea, ... una successione continua di punti.
Come dire,... avevano risolto un problema, trovando il modulo e l'argomento della funzione complessa, e ce ne ritroviamo un altro, ancora più grosso...
......... Vi ricardate cosa abbiamo detto a proposito delle onde di de Broglie? ........de Broglie non aveva forse introdotto il concetto di gruppo... ....la velocità di gruppo di elettroni.....se volete, più in generale, di particelle, un insieme, due o n particelle, non una sola,.. a farsi, per cosi dire, portatore ( il gruppo) di un'informazione, di un impulso? ....
E' il gruppo il vero protagonista, e, dunque, l'insieme...... che dobbiamo allora cercare all'interno di uno spazio dinamico
Inoltre all'interno del gruppo è probabile trovare un particolare elettrone o una particolare particella.......non vi pare? E, per quel che riguarda un elettrone,( di un insieme di elettroni o una nuvola di elettroni) di un atomo è più probabile trovarlo nelle vicinanze del suo nido ( nucleo), sia che abbia le sembienze di corda oscillante sia che abbia l'aspetto di un corpuscolo... Peraltro è più probabile travarlo vicino al suo nido, come un uccello in cerca di cibo, senza però allontarsi più di tanto, ...c'è il rischio che qualche predatore, non vedendo di buon occhio i suoi piccini,.. faccia un buon posto....
.....poi, per giunta, vi è, da parte degli elettroni, la ricerca del migliore luogo, dove regnerà la massima stabilità, con un costo energetico più basso possibile...... Concludendo ci sono tutte le condizioni di trovare gli elettroni vicino al nucleo,.... ....l'unica legge che dovranno osservare è quella che nessuno può immaginare che due di essi possano occupare lo stesso posto.....Altrimenti Pauli si arrabbierebbe tanto.. ma..... non solo Pauli,.. anche noi,... che più che arrabbiarci,.. diremmo... addio magnifico universo....tutti ci vedremmo sprofondare...tutto imploderebbe.. ..io stesso, mentre scrivo queste cose, la mia sedia, il pavimento.....vedrei l'abbisso sotto i miei piedi.....addio mondo.....ho ironizzato un pò...
Le cose non sono andate cosi.....hanno invece scelto la via migliore per costruire un palcoscenico elegante, illuminato e musicante le più belle melodie.....
parlare di probabilità
Non a caso ho nominato Pauli: l'ho citato perchè ha una parte fondamentale nella costruzione della fisica quantistica-ondulatoria.
Egli aveva detto che due elettroni (gli elettroni sono identici), non possono coisistere o occupare sulla stessa orbita. Poichè gli elettroni sono tutti identici, il principio di Pauli vale per tutte le particelle identiche.....tranne per i fotoni che fanno parte di una famiglia, chiamata bosoni, mentre gli elettroni fanno parte di un'altra famiglia, chiamata fermioni. Dunque ai bosoni è concesso di accumularsi, di sopravvarsi, di occupare una stessa orbita, ai fermioni, no. Dal punto vista di più prettamente quanto-meccanico, il principio di Pauli va letto cosi: due elettroni che hanno 4 numeri identici non possono occupare la stessa orbita.Anticipando, detti numeri vengono chiamati numeri quantici (= n,l,m, s), come vedremo più in là dopo avere chiarito che cosa è la funzione di Schrodinger.
Quindi facciamo, fin da adesso, rientrare, per cosi dire, nella nostra discussione anche Pauli accanto a de Broglie, a Schrodinger e infine al fisico, Max Born, autore dell'intepretazione delle soluzioni dell'equazione differenziale complessa di Schrodinger.
1) de Broglie considera un gruppo d'onde, due o più di due, descrivebile come sapete dalle funzioni seno o coseno.
2) Schrodinger pensò di combinare due funzioni d'onda, facendo uso di un termine poco appropriato, ma efficace, in un contesto complesso,cioè in breve, considerò
la f(z)= r( cosz-isenz)= r(x-iy) con argomento z= 2pigreco( Et/h-px/h).
Va notato che cosz e senz prese separatemente, senza numero immaginario i, sono le funzioni di de broglie, ...sottolineando che sono funzioni reali, fisicamente cioè interpretabili...mentre non lo è nessuno numero immaginario. ..... lo sanno e lo sapevano tutti i fisici, in "particolare" Max Born.
Che cosa fece allora Max Born? .......
Prese le due funzioni cosz e senz che compiano nella f(z) di Schrodinger, indicandole una come... f1(z) = r cosz
....l'altra come....... f2(z)= r senz
.......poi ..elevandole al quadrato, le ha sommate ottendo una nuova funzione:
x2+y2= r2 ..........= cost
in particolare con r= 1 segue :
x2+y2= r2.......=1 = cost
Cioè la somma dei quadrati di due funzioni è eguale a 1 ( nota bene:ognuna di queste separatamente rappresenta una funzione oscillante)
faccio notare: .....non abbiamo cambiato nulla a piacere, abbiamo semplicemente eseguito le regole delle equazioni: infatti elevando ambo i membri dell'equazione y= senx, cioè y2 = sen2x, combia la forma ma non la sostanza...indem per Y = cosx ..elevando ambo i membri.. Y2 = cos2x
.....poi sommare ad ambi i membri di un'equazione una stessa quantità l'equazione non cambia, cioè prendo l'equazione:.... y2 = sen2 a cui aggiungo:
y2+ Y2 = sen2 x+ cos2x = 1
Ho cambiato per cosi dire la forma ma la sostanza resta la stessa.
ho voluto richiamare qui queste elementari proprietà delle equazioni per evidenziare che fin qui abbiamo eseguito un percorso regolare, senza cioè dare alcuna interpretazione arbitraria alla pura matematica....poi Born da un interpretazione a questa " equazione" ( è solo un normale esempio) come valore di ampiezza di probabilità.
Evidenziato ciò, poichè ciò che accade nelle dimensioni più basse, deve valere nelle dimensioni più alte, cioè la somma dei quadrati di n funzioni deve essere uguale a 1
Una sommatoria ci riporta all'integrale, ....e la funzione integranda è il prodotto di una funzione per la sua coniugata, il cui l'integrale è uguale a 1
Abbiamo un esempio più reale per cosi dire, cioè ammettiamo che l'equazioni di schrodinger dia come soluzioni:
........... f1(x)= eikx= ...................................
La coniugata di questa è..
....................f2(x)=e-ikx
facciamo il prodotto:......
............. (eikx)(e-ikx=eikx) = 1
........come si vedi si ottiene l'unità...... = 1
questo prodotto è equivalente a |(eikx)|2 = |(eikx)|.|(eikx)| = prodotto scalare tra vettori paralleli= = 1.1= 1 = vettore unitario o normato
più in generale,dal punto di vista dell'analisi vettoriale, la funzione |(eikx)| è detta funzione normalizzata.
A proposito vedi funzioni ortonormali, e come cosi particolari vedi alcune proprietà che discendono dalle serie di Fourier
naturalmente bisognerà sapere sviluppare l'equazioni di Schrodinger in tutti casi possibili.........ma ciò è un argomento a parte
Questi esempi mi fanno venire in mente che la funzione integranda, in questo caso, dal punto di vista matematica sia una funzione di distribuzione di probabilità il cui integrale è uguale all'unità.
Poichè le funzioni coseno e seno elevati al quadrato sono funzioni oscillanti, che però, dal punto di vista fisico, rappresentano particelle o grumi di energia viste come onde o come particelle oscillanti, ...mi faccio un idea,....rifletto,...e poi mi domando: è possibile che la funzione integranda sia una funzione di distrubuzione di probabilità? ....Lasciamoci con questo punto interrogativo per il momento..
Oggi ho fatto la mia parte, domani cercheremo di vedere meglio.......mi scuso di eventuali errori...
Ma..cosa rappresenta questa somma dei quadrati? .......non è forse il prodotto ...di f(z).. per la sua coniugata ...f*(z)?
.....questo è un punto...
in parole povere, questo è quello che bisognerà capire: le due funzione cosz e senz sono funzioni periodiche che rappresentano insieme nel campo reale due onde oscillanti, e sfasate tra di loro ( due funzione di Broglie di gruppo,... un gruppo di due onde, per brevità,... ...anzi qui, se volessimo essere più precisi dovremmo ricordare l'analisi di Fourier... nella quale peraltro, oltre a seno ed a coseno, compare una sommatoria: serie di Fourier..)
Noi stiamo trattando il problema con sole onde oscillanti, ...un GRUPPO di due onde che trasportano un'informazione. Naturalmente l'informazione per capirci meglio sono, dico sono, le particelle....possiamo dire che informazione è sinonimo di particella o di grumo di energia, ...se sia l'onda o la particella a trasportare l'informazione, da questo punto di vista, non ha alcuna importanza. Essendo l'informazione = particella o onda, quello che dobbiamo capire che là dove troviamo l'informazioni, li si troverà la particella o l'onda. Questo è un punto.
Quello che voglio invece far capire è che il discorso fatto per due onde vale in generale......... Perchè? .........
....Per semplice fatto che... la matematica ha una sua coerenza interna, quindi ciò che vale nelle dimensioni più basse, deve valere per le dimensioni più alte.
Dunque, nel nostro caso, se io trovo o provo che il ragionamento fatto per due particelle o onde è corretto o coerente, mi devo aspettare,... anzi il ragionamento vale per n particelle o onde........mi ripeto,... ciò è fondamentale da capire
Detto ciò, possiamo esaminare meglio le due onde seno e coseno.
Abbiamo detto che le due onde, il gruppo di due onde, sono sfasate tra loro. ...poi le abbiamo elevate al quadrato, cioè le abbiamo rese sempre positive, formando cosi due "nuove onde",( ...sono sempre loro..),...e in termini matematici:.......f(x) = cos2x .............e...............g(x)= sen2x ........
Ora dovete studiare il grafico di queste due funzioni.. ...( ancora, ...quando trattate le funzioni, vi dico,.. associate mentalmente ad esse due particelle, anche due elettroni, ..eventualmente pensateli pure che hanno una mente....insomma elettroni pensanti....cerchiamo cioè di pensare sempre che abbiamo a che fare con oggetti veri..aventi una loro entità intrinseca, fisica reale, anche se per noi rimane nascosta.........questo modo di pensare alle cose, lavorando con la matematica, lo trovo assai interessante e proficuo...... ...dopo tutto ...gli atomi hanno almeno una coscienza, ...quale? ....la nostra....!!!
Riportando i grafici su sistema di assi cartesiani, è possibile vedere lo sviluppo o l'andamento delle due onde oscillanti. sommando i due grafici, come abbiamo già ripetuto, si ottiene una somma costante.
...Ma cosa si mantiene costante dal punto di vista fisico? ......la quantità di moto e l'energia,... non vi pare giusto?
...infatti, dopo tutto, un grafico è un'estrazione matematica, ma ciò che descive il grafico è il cammino nel tempo di un'entità fisica reale, intrinseca, chiamata energia o un corpo di massa m,che è equivalente all'energia.
... Eccoci arrivati al punto dolente!!! Se l'energia e/o la massa, come energia aggregata, fossero entità uniche, cioè viste solo e solo come onde, il problema per certi aspetti potremmo chiuderlo qui.....Ma non cosi....perchè gli elettroni, non solo nessuno l'ha mai visti, ma non sappiamo se sono onde o corpuscoli quando sono dentro gli atomi........ potendo invece dire, solo e solo, per via dei fatti sperimentali che sono onde o corpuscoli dopo un esperimento. allora Logica vuole che diciamo che gli elettroni, sono entità dinamiche non ben localizzate, tecnicamente si dice che gli elettroni sono delocalizzati. .......Inoltre, come abbiamo detto in precedenza, per gli elettroni vale il principio di esclusione di Pauli
Dentro un atomo gli elettroni, se volete, possiamo immaginarli come una nuvola di tanti punti materializzati, che si muovano quà e là.....oppure come onde.L'unica cosa possiamo dire degli elettroni è quella di avere la certezza, anzi per essere più cauti, diciamo di avere la maggiore probabilità di trovarli il più vicino possibile al proprio nucleo, non sappiamo però se dentro l'atomo siano onde o corpuscoli o entrambi le cose, onde + corpuscoli, o infine entità diverse
E' ormai evidenti che ciò che vale per gli elettroni vale per tutte le cose, dico tutte, noi, la nostra casa, un missile,la terra,la luna, ..e cosi via.. cioè tutte le cose, per noi, sono o onde o corpuscoli....ripeto o onde o corpuscoli, ...nessuno conosce la vera realtà, quella intrinseca..cioè quella nascosta.
l'onda e il corpuscolo sono legati dalla relazione di de Broglie:
......................... L= h/mv.........o............p=hk...........con k=1/L......, vettore equivalente a p e parallelo a p
Mi augoro, essendomi ripetuto più volte, almeno di aver reso idea di ciò che tratta la fisica quantistica-ondulatoria.
.... ho volutamente parlato, anticipando, di funzione di distribuzione di probabilità...
Ma, colui che, per primo, ha realmente capito che le soluzioni,moltplicate per le rispettive coniugate, dell'equazione di Schrodinger sono funzione o ampiezze di probabilità,è stato Max Born.
Arrivati a questo punto, diciamo all'incirca a 1/4 di strada per cosi dire, si tratta di chiarire ancora meglio e completare il ragionamento.
la sola funzione seno o la sola funzione coseno prendano il nome di funzioni armoniche, la somma due o, n funzione armoniche più in generale danno luogo ad una funzione periodica (si ricordi la definzione=f(x+P) =f(x) con P il periodo= costante), nota più comunamente come serie convergente di Fourier. Ogni armonica trasporta, anzi, è un grumo di energia a cui corrisponde una frequenza e una lunghezza d'onda, quest'ultima è legata alla quantità di moto (L=h/p). n armoniche sono n grumi di energia; poichè l'energia è quantizzata, il grumo più piccola vale hf= un quanto ( stato fondamentale, ...poi seguono 2hf,3hf.......nhf. come abbiamo detto un gruppo di onde viaggiando in ogni istante occupa uno spazio piccolo, diciamo dV, .....ora ricordiamo la definzioni di densità..
La densità, diciamola F(x), è la massa (=E/c2, equivalente all'energia) nell'unità di volume (f(x)= m/V) abbiamo detto che un gruppo di onde è il contenuto totale di energia o di massa. Dunque m= F(x)V. ma un gruppo di onde o di energia o di massa, essendo piccolo, occupa uno spazio molto piccolo, infinitesimo ( per farsi un'idea vedi per esempio dimensioni di un atomo pari a 10-6mm). dm= F(x)dV nello nostro caso la densità di energia è la soluzioni di schrodinger moltiplicata per la sua coniugata, ovvero: F(x) = f(x).f*(x)
dunque....... dm= f(x).f*(x) dV
integrando e ponendo l'integrale uguale a 1, si ottiene la probabilità di ottenere, osservando un fenomeno naturale-causale, un risultato compreso in un determinato intevallo: il risultato, nel nostro caso, è quello di trovare un elettrone, durante un certo intervallo di tempo dt, in un volume dV: intervendo anche il tempo, la soluzioni dell'equazioni di schrodimger più in generale è una funzione dipendente da quattro variabili, x,y,z,t, ovvero f(x,y,z,t) di conseguenza si ha:
........................................... f(x,y,z,t).f*(x,y,z,t) dVdt ...................................
la quale va integrata, e poi ponendo l'integrale = ...1
.......l'integrale, esteso da meno infinito a più infinito, di ( f(x,y,z,t).f*(x,y,z,t) dVdt) = 1 ....... diventa una condizione,.....detta di Normalizzazione
Mi augoro, essendomi ripetuto più volte, almeno di aver reso idea di ciò che tratta la fisica quantistica-ondulatoria.
una volta che risolta la condizione di normalizzazione la soluzione dell'equazione differenziale diventa una funzione completa, adatta per trovare l'energia,il momento della quantità di moto,il numero quantico orbitale magnetico tra loro collegati tramite numeri n,l,m, detti quantici, che compiano nella soluzioni normalizzata f(n,l,m)....
n,l e m sono collegati cosi:.......per n= n implica l= 0,1,2,3.....n-1 e m= -l.....-2, -1, 0 +1, +2, .....+l
per esempio per n= 1 implica l= 0 e m =0 ... ......per n=2.. ...l= 0,1 ....m= -1, 0, +1 ........e cosi via..
Manca lo spin s, (= momento angolare intrinseco, una sorte di "trottolina"), ipotizzato da Goudmidt e Uhlenbeck, poi confermato teoricamente da Dirac, il quale può assumero solo due valori, nel caso degli elettroni
.............................................. s= -1/2 e +1/2.
Che cosa è lo spin? ....Giusto, cosa è lo spin?......l'elettrone è stato definito come una trottolina,aggiungo, microscopica, rotante attorno al proprio asse, visto che abbiamo parlato anche di momento angolare intrinsico.
Ma come è possibile definire per esempio un elettrone che ruota attorno al proprio asse, avendo detto che l'elettrone è onda e corpuscolo, o, addirittura nessuna delle due, tenuto conto che nessuno l'ha mai visto all'interno di un atomo?....infatti abbiamo detto che solo dopo un esperimento è possile vederlo comportarsi o come onda o come corpuscolo. Dunque non possiamo dire di conoscere la natura intrinseca dell'elettrone, nè possiamo dire che ruoti come la terra attorno al proprio asse. ...Allora come la mettiamo? .....e' vero.. la meccanica quantistica è proprio strana ed imcomprensibile!
.....E' la matematica forse la colpevole di tutto ciò?....La risposta è no. La matematica ha, oltre alla sua logica, coerenza interna.
infatti ad un certo punto,lungo il percorso, siamo inceppati nella " trappola" delle probabilità...è testa o croce...per un 1/2 è croce, per 1/2 è testa, parlo di una moneta lanciata in aria....parliamo di un dado....per 1/6 è cuore...per 1/6 è fiore.....e cosi via....6 volte 1/6 fa 1..Se incolpassimo nella matematica anche il caso, la colpevole sarebbe in parte anche la matematica, l'altra parte di colpa cadrà sulla sperimentazione. ....Ma sperimentazione è lo strumento con la quale la scienza dirà questo è vero......questo non è vero......In altre termini, se di vera colpa sia possibile parlare, tutto va addebbito alla sperimetazione, non certo alla matematica. Abbiamo infatti detto all'inzio che l'equazione di Schrodinger è nata dalla mente di Schrodinger quasi per magia, inoltre è ancora coranata per certi aspetti da un olone di mistero, discutibile....ciò nonostante i fatti sperimentali hanno confermato una certa procedura teorica, che inzia con l'equazione di Schrodinger ma che un certo punto, questo percorso matematico di schrodinger, si arresterà. E' qui che le cose, per cosi dire, si incepperanno,... parlo dell'interpretazione delle soluzioni dellequazioni di schrodonger, come densità di probabilità. Finisce per cosi dire un percorso vero, delianeato da una equazione differenziale seppure complessa, ....finisce il principio della causalità, cioè il rapporto tra causa ed effetto,... è inizia il caso....dunque il caso non fa parte della matematica pura, piuttosto invece al comportamento, "strano" della natura, ...chiarisco.., strano nel senso che le sue particelle si presentano una volta come onde, una volta come corpuscoli a seconda il tipo di sperimentazione. Del resto, la sperimentazione è l'unico strumento che possediamo per dire quando una certo teoria, adottata per descrivere un certo tipo di fenomeno, è giusta ..oppure... è falsa. La sperimentazione è perfettibile....e la scienza vera ne prenderà atto, adottandola:... è il punto in cui la vera scienza è arrivata.
.........................................................................................................................................
Questo intermezzo, mentre si stava tentando di rispondere alla domanda se un elettrone ruoti realmente su sè stesso, è anche un tentativo, uno sforzo di descrivere ciò che è indescrivile visivamente,.. il nascosto.....Cioè, anzichè seguire, alla lettera, ciò che è misurabile, si correrebbe il rischio, parola dopo parola, di entrare nel campo delle implicazioni filosofiche,....un campo bellissimo....che però ci condurrebbe molto lontani, e ove poi non trovassimo rispeste, non sarebbe, entrando, neanche inutile.....dico solo...guardiamo anche, ogni tanto, i fenomeni in senso olistico...!! Allara ritorniamo sul terreno delle misure e diciamo che lo spin s intrinseco dell'elettrone, non solo di esso ma di tutte le particelle che lo possiedono, è solo un modo di dire per giustificare ciò che emerso dopo un esperimento relativistico. Si, relativistico perchè lo spin è fenomeno quantistico, emerso considerando le particelle che si avvicinano alla velocità della luce.....per momento diciamo che lo spin è un modo di chiamare una cosa, che risponde a certe misure, cosi come un elettrone si presenta a noi o come un'onda o come una particella senza sapere però sapere realmente quale sia la sua vera natura intrinseca...tuttavia la storia dello spin la riprenderemo quando avramo modo di parlare dell'equazione di Dirac
Adesso invece cercheremo di capire che cosa è il principio di indeterminazione di Heiserberg
Per tentare di capire il principio di indeterminazione di Heiserberg, io propongo di disegnare sul grafico un'onda ( ..nella nostra mente pensiamola che rappresenti un gruppo di onde, del resto vale il principio di sovraopposizione) poi dentro l'onda, anzi all'interno della sua lunghezza d'onda L, che una misura ben definita, un punto materializzato p, che rappresenti per esempio un elettrone.
E' una rappresentazione visiva,....la maccanica qantistica cosi ci ha ormai imparati a guardare l'elettrone, in due modi distinti.
Però questa rappresentazione visiva ci permette di capire l'essenza del principio di indeterminazione
vediamo come.
Il punto P resta ben localizzato..... é l'onda?.... la vediamo tutta intera, una volta che saremo passati da un punto massimo ad un altro punto massimo, cioè dobbiamo percorrere l'intera misura L, la lunghezza d'onda....... altrimenti vedremmo un solo pezzo, ...e un pezzo non rappresanta un'entità fisica specifica,... sarebbe come se vedissimo la sola coda, ....ma questa coda a chi appartiene... ad un gatto o un cane o ad un altro animale con la coda? .... quindi è tutta la lunghezza che dobbiamo vedere per dire cos'è!!! .....non so se abbia reso l'idea......
questo è il primo punto
.........il secondo punto più importante è il fatto l'onda stessa è l'elettrone stesso,il punto P.......non vi pare?
in parole povere stiamo cercando di descrivere, anzi di localizzare due cose distinte, onda e corpuscolo, che però rappresentano poi la stessa cosa, cioè l'elettrone
La lunghezza L è legata infatti alla quantità di moto p........L= h/mv, dove m è il nostro punto P, cioè la massa dell'elettrone, che resta tale.
possiamo agire allora sulla velocità v, per esempio aumentandola......aumentando la velocità vediamo che L diminuisce, di conseguenza, diminuendo la lunghezza L, l'onda si restringe, cioè tende a diventare più focalizzata...., ma nello stesso tempo la quantità moto tende ad aumentare.
Senza oltrappassare la velocità limite della luce, saremmo tentati ad aumentare la velocità v, fino a che L non diventerà piccola e perfettamente come il Punto P,... a questo punto..,- onda e punto- diventerebbero la stessa cosa
........dunque, se cosi fosse, parchè parlare di onda= entità continua? Essendo u'entità fisica continua, con L che tende a zero, h diventerebbe zero, ....h=O? ....h= o = tutto il lavoro della fisica quantistica = 0! Ciò è impossibile, perchè dovremmo concludere che tutto il lavoro sperimentale sarebbe nullo.
allora qual' è il vero senso del principio di indeterminzione?
... ...............il vero senso il principio di indeterminazione è che noi non possiamo mai localizzare una particella
......quindi vedere cos'è realmente
...... ... d'altra parte, per vederla dobbiamo indirizzare su di essa luce, che una volta giunta sull'obbiettivo, sarà riflessa verso i nostri occhi........convertita poi dal nostro cervello come immagine dell'obbiettivo: questo ultimo punto è secondario rispetto al primo punto.
Tenendo fisso il primo punto, l'unico modo per " vedere" che cosa è realmente un elettrone dovremmo trovare una matematica capace di descriverci, senza mai vedere, la natura intriseca dell'elettrone o più in generale delle particelle, facenti parte del mondo subatomico.
..........Rimane dunque solo " l'occhio " della matematica ............
seguendo questa descrizione e mettendo al posto della lunghezza d'onda L, la frequenza f dell'onda,tenendo conto che la frequenza è il numero n di oscillazioni nell'unità di tempo,... -numero n che bisognerà contare- per avere la stessa lunghezza L d'onda, tracciata prima sul grafico,.. si capirà la relazione
..................................(var.E)x(var.t) =h
..........................................
Finora abbiamo fatto un pò di storia sulla nascita della fisica moderna, pur delineando i concetti chiavi, non siamo tuttavia entrati nel cuore della stessa per interpretarla da un di vista più rigoso e nei suoi dettagli attravero un formalismo matematico più rigoso. Tenterò di farlo, ma lo farò senza però usare un simbolismo stretto e sintetico, quello cioè più conforme agli addetti ai lavori accademici, per cosi dire stenografico. invece io amo dire le stesse cose con un linguaggio chiaro e asciutto, anche perchè il mio lavoro è rivolta ad un pubblico, meno accademico, ma che certamente deve possedere un bagaglio culturale, attinente con la matematica e la fisica, per esempio il " pubblico" degli studenti universitari. Detto ciò, oggi vogliamo parlare del momento angolare, nel contesto quanto-meccanico, che peraltro si presta come esercizio, riguardante la condizione di normalizzazione di una funzione, "soluzione" dell'equazione differenziale complessa di Schrodinger. Classicamente il Momento angolare L è definito come prodotto vettoriale tra la quantità di moto p per il vettore posizione r (x,y,Z) ovvero:
L= pxr = iLx+jLy+kLz= matrice=

i........j...........k
x........y...........z
px.....py.......pz

Riportiamo qui l'equazione complessa dell'onda:
.............f = e-i(Et/h -p/h r(x,y,z))...........
.......................................................................
ora sviluppiamo le derivate parziali di f rispetto ad x,y,z:
....................................................................................
df/dx = (ipx/h) f......................df/dy=(ipy/h)f.......,,,,,,...df/dz = (ipz/h) f
........................................................................................
risolvendole rispetto alle rispettive quantità di moto, si ha:
.....................................................................................
px = -ih.df/dx..........................py= -ih.df/dy .............................. px =-ih.df/dz
......................................................................................................................................
a Rigore queste andrebbero scritte, (considero una sola) cosi:
...................pxf = -ih.df/dx.............
inserendole nella matrice del momento angolare si ha:
.......................................................................................
..................................L= iLx+jLy+kLz= -ih.
i........j...........k
x........y...........z
df/x.....df/dy.......df/dz

sviluppando la matrice si ha:
.L=iLx+jLy+kLz=.................=-ih|((df/dz).y-(df/dy).z)i+((df/dz).x-(df/dx).z)j+((df/y)x-(df/dx)y)|
..........scritta in forma sintetica, usando il simbolo delta A, si ha:
......................................................................................
...................................L= -ih(A.r)..............................(5)
prendiamo per semplicità la componente Lz:
.........................................................
................................................Lz= -ih(df/y)x-(df/dx)y.........................(1)
trasformandola in coordinate sferiche .....x= rsenA.cosB........y=rsenA.sebB..........z=rcosA :
................................................................................................
dx/dB= -rsenA senB= -y.....................dy/dB= rsenA .cosB =x ..........dz/dB=0
sostituendo nella 1 si ha .
...........fLz= -ih(df/dy)dy/dB+(df/dx)dx/dB) =.......-ih.2df/dB....
..........................................................................................
..............................................fLz= -2ihdf/dB..........................
.............................................iLz/h dB = df/f...................
integrando si ottiene:
.........................................f= CeiLB/h............................
.....................................................................................................................
come si vede nell'esponente di e compore il rapporto .......Lz/h
..........................secondo voi tale rapporto a che cosa dovrà essere uguale?...............................
non avrà essere forse uguale ad numero m intero?
dunque :
....................................Lz/h = m...........................
.............................. Lz= mh ........con m=-n,......-2,-1,0,1,2,.....n
il momento angolare è quindi quantizzato.
riprendiamo la f e inserendo mh al posto di L/h:
..................................f= CeimhB..................
ora questa funzione va normalizzata, determinando il valore di C, integrando da 0 a 2pigreco, e ponente l'integrale =1 si ottiene C:
..........C= (2pigreco)-1/2.....................
riprendiamo la 5 cioè............ L= -ih(A.r)..........................
facciamo il prodotto scalare
.........L*L= L2= -ih(A.r)) (-ih(A.r)........= h2A2r2.....
Come noto il momento angolare dipende dagli (B,C);
Scriviamo qui l'operatore di Laplace in coordinale sferiche:
A2 = (1/r2)d/dr(r2d/dr)+ (1/r2senB(d/dB(seB.d/dB)+(1/r2.sen2B)(d2/dC2)=0 ........(2)
la parte colorata dipendente dagli angoli B e C, corrisponde a
-L2/(hr)2= (1/r2senB(d/dB(seB.d/dB)+(1/r2.sen2B)(d2/dC2)
eliminando r :
.................................................................................................................
-L2/h2= (1/senB(d/dB(seB.d/dB)+(1/sen2B)(d2/dC2)..............
Riscriviamola,ponendola uguare zero:
(1/senB(d/dB(seB.d/dB)+(1/sen2B)(d2/dC2)+L2/h2=0
Schrodinger scrivendo la sua equazione d'onda, pensava alla fisica classica, non poteva dunque sfuggirsi il fatto che il momento angolare al quadrato fosse legato all'energia potenziale effettiva, che qui riporto:
.......................................Ee(r) = (L2/2mr2)+Ep(r).................la quale è solo un addendo di un'equazione che conteneva l'energia totale, cinetica e potenziale, ovvero:
....................... E= 1/2m(dr/dt)+(L2/2mr2)+Ep(r)....................
l'equazione riguarda il moto dei corpi, piccoli e grandi, sotto l'azione di forze concentrali conservative, in cui è stato indotto il momento angolare L per tenere conto della direzione del moto in generale nel quale, non essendo rettilineo, il solo principio della conservazione dell'energia è non sifficiente a risolvere il problema.
Schrodinger scrisse la sua equazione quasi per magia, naturalmente nella sua testa c'era tutta la conoscenza della fisica del tempo, nonché della matematica. La parte che ritengo interessante è la magia della matematica che, pur essendoci dietro una penna e una mente umana, ci conduce verso la conoscenza di nuove cose senza che fossero assolutamente prevedibili. Mi scuso se parla sempre di essa, ...ma essendo molto sorprendente, si rimane sempre un pò increduli, e, nella incredulità, si è indotti a meditare sulla natura che ci circonda...e si finisce con il chiedersi,..ma la nostra vita è affidata veramente al caso o esiste realmente il principio di causalità?............
Mi sia concessa tale pausa,......non è stanchezza, anzi,.....è il fatto che la matematica non è fatta di freddi e noiosi calcoli,ma nella sua astrattezza sembra presentersi come filosofo, che sembra dirti... ragioniamo insieme un pò...... e noi vogliamo ragionare per capire, passo dopo passo, come si arriverà alle sue soluzioni dell'equazione differenziale di Schrodinger.
Parlando del momento angolo L, si è detto poco prima che esso viene introddo perchè tenga conto della direzione del moto, non potendo la sola energia risolvere il problema, a meno che il moto non avvenga lungo una retta, dove la direzione resta già fissita. Ma vi è anche un altro coso dove il momento angolare può essere trascurato o meglio ritenuto costante: è il caso del moto che avviene in un ambiente di perfetta geometria sferica, dove gli angoli non servano, infatti ruotando "l'ambiente" l'ampiezza di una funzione con cambia, resta cioè costante similmente alla direzione lungo una retta che resta costante rimando cosi una funzione dipendente solo dal raggio r, rimando L=cost.cioè:
.........(1/r2)d/dr(r2d/dr) =-(1/r2senB(d/dB(seB.d/dB)+(1/r2.sen2B)(d2/dC2)
ovvero
............................ (1/r2)d/dr(r2d/dr)=-L2/h2............. :
sviluppandola diventa :
r2(d2f/dr2)+2rdf/dr L2/h2f=0
questa è un'ordinaria equazione differenziale di Eulero, potendola risolvere, ponendo f= rp, si otterrà :
.....f=Drnl+G/rl+1 .............. e............... con L2/h2= -l(l+1);
onde
(1/r2)d/dr(r2d/dr)=-L2/h2 = -l(l+1)................dunque
...................................... L2/h2= l(l+1).............................

.......................................riporto la procedura di calcolo, quanto sopra, più dettagliata .................
.....................................................................................................................
....................................................................................................................

Oggi ho fatto la mia parte, a domani..........pregasi nel frattempo segnalare errori...grazie