Cosa sono i modelli in matematica?

Prima di rispondere alla domanda, ci chiediamo: conosciamo la realtà oggettiva delle cose esistenti in natura?  Risposta : no,fino a prova contraria. Vediamo perché, cosi risponderemo  alla domanda sui modelli in matematica.

In natura  ogni cosa è una speciale combinazione di atomi, che a loro volta, sono composti di massa e di cariche elettriche. La massa è equivalente all’energia e viceversa come ci insegna la famosa formula E= m dedotta dai Einstein attraverso con l’ausilio della matematica ( colgo l’occasione per dire che la matematica non è una rappresentazione di freddi numeri o/e solo di calcoli, avvolte seppure molto laboriosi, come avremo modo, andando avanti, di capire).

Il problema diventa  quello di domandarci se conosciamo oppure no la natura intima degli atomi, visto che tutte le cose, compresi noi esseri coscienti, sono un composto di atomi.  Allora, vi domando: cosa sapete degli atomi, avendolo appreso nelle scuole medie  superiori. Vi è stato detto che un atomo è simile al nostro sistema solare, ovvero nel centro dell’atomo è posto il nucleo, composto di protoni e neutroni, in periferia gli elettroni ruotanti attorno al nucleo cosi come i pianeti ruotano attorno al sole. Ma, in  realtà l’atomo è davvero cosi, seppure il loro sole compresi i pianeti siano infinitesimi rispetto  al nostro sistema solare?  La risposta è no. Il fatto di rappresentare l’atomo come il sistema solare è solo un modello, non la realtà dell’atomo. Il fatto di avere visto, l’atomo come il sistema solare, all’inizio, adottando le tre leggi fondamentali della fisica classica, a cui è possibile di applicare    la matematica. In questo caso la matematica non ci ha guidati a guardare  un atomo come il nostro sistema solare ( modello). Infatti l’atomo, dopo il famoso esperimento di Rutherford, entra nella nostra mente la migliore rappresentazione, quella  di immaginare di “ vederlo “ come il nostro sistema solare. ….all’inizio, un modello vero, seppure in miniatura. E, a questo modello  è stata applicata la matematica, non solo, ma  abbiamo abituato la nostra mente fino al punto che, ancora oggi e  nonostante è in pieno sviluppo la fisica moderna,  non si rassegna a guardare all’atomo classico come un modello nel vero senso del termine. Eppure I modelli servano,nonostante siano a volte ingannevoli. Infatti, dimostrando che certi modelli sono sbagliati, la conoscenza sulle cose progredisce e trova piena applicazione  in vari settori. A scoprire il modello dell’atomo è stata questa volta la sperimentazione, non la matematica.

 

Ora è la matematica a scoprire  dei modelli dell’atomo.

La  bellezza  della matematica  si mostra  quando è invece essa  farci  vedere un modello, dal quale nasce una teoria scientifica, che posta alla dura legge della sperimentazione, si rivelerà avere dei riscontri “reali” o meglio  applicativi. 

All’inizio del 900 Plank, usando la matematica del discontinuo o discreta, scopre un diverso comportamento della luce o meglio ancora dell’intero spettro elettromagnetico.  Secondo la visione classica  lo spettro elettromagnetico era un insieme di onde con le rispettive frequenze e lunghezze d’onda. Esse ebbero il massimo di “ eccellenza” con Maxwell.

Cosa scopre Plank?  Scopre che la luce è un insieme di palline, corpuscoli viaggianti, detti quanti o fotoni, la cui energia è una frequenza moltiplicata per una  quantità costante h, detta costante di Plank, ovvero E= hf , ove frequenza ed energia sono equivalenti  in modo molto simile, e legate, all’energia  equivalente alla massa m , tramite (E= m ) ,  con la differenza che in quest’ultima il legame tra energia e massa è la velocità della luce c, mentre nella E= hf   il legame lo stabilisce la costante h.

Il fatto di essere anche legate si vede subito uguagliando E= m       e E = hf , ovvero

 m  = hf            da cui   

                                                 /h = f/m = cost.   

ne discende che  frequenza e massa sono direttamente proporzionali, cioè  sono equivalenti, la cui equivalenza la stabilisce il rapporto costante /h . Questo significa   che una vibrazione si trasforma in massa,  e viceversa o in altre parole una vibrazione produce una massa m, il cui valore è

                                                       m= h/ f

 essendo  c = 300.000 km/s  = 2.9979. m/s    e   h = 6,6218 j s  , sostituendo

m= 7,3678 f   ( kg s)

essendo poi f = 1/t   si trova che

mxt = 7,3678  = cost

e dunque potendo scrivere 

mxt =   =7,3678

possiamo concludere che la massa è legata al tempo in un rapporto inversamente proporzionale, ovvero se cercassimo di far tendere a zero il tempo , la massa tenderebbe all’infinito, cosa impossibile , perché se cosi potessimo concepire il tempo zero, legato alla materia, come pure previsto dalla teoria della relatività generale,  potremmo concludere che l’universo al tempo zero contesse una massa , e dunque una energia,  infinita. Noi invece sappiamo che l’energia non solo è finita, ma si conserva, potendosi tuttavia trasformare.  A meno che non esistono infiniti mondi, di cui il nostro universo fisico è uno di questi  infiniti mondi.

Allora non potendo non solo capire l’infinito, ma nemmeno concepire o immaginare  fisicamente  un’energia infinita, non possiamo scendere il tempo a zero. Cosi il tempo zero, per noi, resta un mistero, esso invece fa parte della filosofia o meglio ancora della teologia.

Una domanda mi viene spontanea rivolgere se il tempo è intrinsecamente legato alla materia come poss……………………………….

Attenti ancora!  Se ponessimo t= 0 , non solo la teoria la teoria di Plank crollerebbe, ma crollerebbe tutto l’edificio costruito dalla fisica quantistica. Per cui, per noi,  ogni cosa potrebbe  avere  o ha significato  fisico  se partiamo da un tempo il più  vicino possibile a zero, ma mai zero.  Cosi noi ragionando , con l’ausilio della matematica,  dell’infinitamente piccolo entriamo in un universo dove persino la nostra immaginazione fa molto fatica, dovendo immaginare che la luce emessa o assorbita esce come palline e nello stesso tempo poi comportarsi pure come onde, come vedremo meglio in seguito.

Prima però, una domanda mi viene spontanea rivolgerci:.. se il tempo è intrinsecamente legato alla materia come possiamo noi agire sul tempo?  Pensiamo a noi stessi, come esseri coscienti: noi siamo fatti di atomi, in essi è sicuramente racchiuso un ente che noi chiamiamo stato di coscienza e in essi è racchiuso il nostro tempo. Allora, possiamo agire sul nostro tempo?  Per il momento mi riservo di meditare su queste domande, e poi, meditando riprenderò il discorso su questo genere di domande che dal terreno fisico ci condurranno sicuramente su terreno di natura  filosofico: .. a poi. 

Ritorniamo al nostro discorso di partenza. Plank scopre che l’energia è quantizzata. La luce è una pioggia di fotoni di energia E= hf, 2hf, 3hf……nhf. La luce è energia, che a sua volta è massa. La luce è un grumo di energia sempre in moto…non si ferma mai, potendo vedere questo grumo di energia una sola volta fermarsi, vedremmo questo grumo  come energia aggregata, cioè  in massa, che noi chiamiamo massa a riposo. Ma  poiché la luce è in perenne moto, la sua massa a riposo è nulla. Contrariamente per esempio ad un elettrone, che pur essendo sempre in moto come la luce, ha una massa, cioè un concentrato di energia tenuta assemblata dalla carica stessa dell’elettrone, per cui l’elettrone può avvinarsi alla velocità della luce senza però mai raggiungerla.

La domanda che il fisico De broglie  si è posta a suo tempo, grosso modo   è la seguente: ..pensando all’elettrone, per esempio, esso è quantizzato già per sua natura. infatti è una pallina microscopica. È possibile che una pallina si comporti anche come un’onda? La risposta fu positiva. De Broglie scopre infatti che elettroni, protoni, …..e cosi via si comportano pure come le onde. Immaginare che un corpuscolo come un elettrone si trasforma anche in onda ha dell’incredibile: due aspetti, onda e corpuscolo, in uno solo. ….eppure è cosi,lo dicono gli esperimenti, ciò è anche presentabile matematicamente cosi:

riprendiamo l’equazione  m  = hf   che possiamo scrivere

(mc) c = hf           ovvero              P.c = hf         da cui                                         

P ( quantità di moto) =  hf/c

Essendo la lunghezza d’onda  legata cosi 

λf=c          da cui  λ = c/f       invertendo 1/λ   = f/c         e sostituendo

P = h/λ

Questa è la quantità di moto della luce, che ha massa a riposo nulla, ma l’elettrone ha una massa m , e dunque secondo la relatività ristretta non potrà mai un elettrone raggiungere la velocità della luce, avrà una velocità grande e vicina    a c,  cioè una velocità v, de Broglie scrive

p= mv =h/ λ

come si noterà p  è equivalente all’inverso della lunghezza d’onda. Dunque l’elettrone, come qualsiasi corpo piccolo e grande, si può comportare pure come un’onda.

A questo punto una domanda è d’obbligo: poiché nessuno a mai visto un elettrone, anzi “l’abbiamo  visto” solo  nel modello planetario…..ma quello era solo un modello non la realtà intrinseca degli elettroni o dell’intero atomo. Nessuno mai ha potuto vedere  un atomo. …Allora come la mettiamo? Cioè gli elettroni per esempio dentro un atomo sono corde vibranti, cioè onde, o corpuscoli? Risposta: si conosce molto, ma nessuno ancora oggi conosce la natura intrinseca dell’atomo o dei suoi costituenti, gli elettroni vediamo comportarsi come onde o come corpuscoli, dopo un esperimento, tuttavia la loro natura intrinseca rimane nascosta in questo senso possiamo anche dire che gli elettroni non sono né onde né corpuscoli, sicuramente entità fisiche a noi nascoste.

Ci stiamo avvicinando a rispondere alla tema che ci siamo posti, cioè di vedere la matematica in azione che ci fornisce un altri  modelli dell’atomo.

Schrodinger nel 1926 formulò  un’equazione differenziale che comprende non sono i numeri reali ma anche quelli immaginari, con tanta inventiva e con po’ che sa di magico,  sorprendentemente ci fornisce il moto ondulatorio dell’elettrone, considerandolo come onda stazionaria, e quindi un modello di atomo completamente diverso da quello classico, planetario, che spiega molte cose dal punto di vista pratico, come per esempio la distribuzione degli elettroni negli atomi, come vedremo. 

Riportiamo qui l’equazione di Schrodinger :

Una bella e sintetica equazione differenziale che rappresenta il modello matematico dell’atomo, che più il là vedremo come si ricava. Un modello non più visivo come quello planetario, ma matematico, che tuttavia come vedremo, ci riporta al modello  “ visivo” attraverso le soluzioni dell’equazione differenziale del tipo (n,l,m) in funzione di tre numeri quantici, n,l,m. tenendo conto del principio  di esclusione di Pauli o dello spin S , di cui uno preceduto dal segno (+) l’altro dal segno (-).  In altre parole il numero degli elettroni che contiamo attraverso i tre numeri quantici, n,l e m vanno moltiplicati per due, cioè il due è dato da i due spin, più e meno. 

Ora che iniziamo ad apprendere che gli elementi dell’atomo si comportano in due modi completamente distinti, come onde e come corpuscoli, possiamo immaginare  gli elettroni , i protoni e i neutroni come onde, e valendo anche il principio di Pauli secondo il quale due elettroni come possono occupare  stesso ed identico luogo, allora due elettroni visti come onde, possono coesistere solo se le due onde, per cosi dire, ruotano in senso opposto ( in analogia allo spin + e dello spin -) .  Quindi un altro modello di atomo, in cui gli elettroni sono onde, e non corpuscoli.

 

 

Come vengono distribuiti gli elettroni applicando la soluzione (n,l,m) dell’equazione di Schrodinger?

 

Per non addetti ai lavori più specialistici che si insegnano nell’università è richiesto solo di sapere che un’equazione in generale da delle soluzioni ( in fisica bisogna saperle interpretare). L’equazione di Schrodinger è una “ normale” un’equazione, anche se molto più complessa dell’ordinarie equazioni differenziali e non. Lasciamo perdere la sua complessità, quello che si richiede ora di capire, ripeto, che l’equazione di Schrodinger, che non è relativistica, da delle soluzioni, in cui compaiano tre numeri n,l ed m, lo spin s invece è un fenomeno relativistico

Dove n  può assumere tutti i valori interi, cioè n= 1,2,3,4………N  , detti numeri quantici principali, che ne possiamo contare fino all’infinito ( secondo concetto di infinito potenziale).

Questi numeri li troviamo legati all’energia, la cui equazione qui la riportiamo:

E(n) =

Per n=1  ovvero si ottiene la seguente energia:

E(1) =   

Per n= 2 

E(2) =

E cosi via, ad ogni valore di n corrisponde una ben definita quantità di energia, per capire meglio che questa energia è quantizzata basta scrivere la stessa energia nella formula corrispondente    E(n) = nhf  

Poiché il numero n è legato  al numero l cosi:

l=0,1,2,3……..n-1

che a sua volta è legato al numero quantico

m = +l,l-1,…..-l+1,-l

in corrispondenza dell’energia E(1) =    ovvero per n=1, troviamo i numeri l, ovvero

l=n-1=0

segue che per      l =0  m=0        segue poi che la prima soluzione è  (1,0,0 )

immaginiamo di voler costruire  un qualsiasi atomo. Per fare questo ci conviene  partire  dall’atomo  di idrogeno. Esso è composto da un protone e di un elettrone, infatti ogni atomo complessivamente è neutro. A questo elettrone compete l’energia E(1) =    = -13,6 eV  , detta energia dello stato fondamentale, la minima energia possibile quantizzata. Sappiamo inoltre che l’elettrone “ruota” attorno al proprio asse ideale, similmente alla terra che ruota su sé stessa ( attenti! Sto forzando assai la mano asserendo che l’elettrone ruoti su stesso similmente alla terra, non è assolutamente cosi, ma volutamente ho sforzato per significare che può prendere due valori possibili s=+1/2  e s= – 1/2  visto che sperimentalmente  è  emerso  che l’elettrone si comporta come un microscopico magnate, che in presenza di una calamita può orientarsi in due direzioni opposti, e quindi due “possibili rotazioni” in senso orario oppure in senso antiorario, …in sù o in giù …..che importa …è un modo di dire….tanto i calcoli ci danno due valori possibili +1/2 e -1/2 . E poi, dopo tutto, un elettrone può apparire come un’onda o come un corpuscolo, dunque parlare di rotazione su sé stesso non avrebbe nessun senso se non quello di dire che l’elettrone è anche un minuscolo magnate.

Il fatto però interessante è questo: se scrivo la soluzione, (attenti! ½ e -1/2 non fanno però parte delle soluzioni):

(1,0,0,+1/2 )

e

(1,0,0 , -1/2 )

Per la stessa energia per n=1,l=0 e m=0,  ho due stati non perfettamente uguali, anche se hanno lo stesso stato di energia E= -13,3eV possono prendere posto due elettroni, senza violare  in nessuno modo la legge di Pauli.  

Per meglio comprendere calcoliamo l’energia per n=2  cui corrispondono

l=0   segue che    →m= 0        ( due stati come appena visto, …due funzioni d’onda) 

l= 1   segue che → m= 1  ,    0  ,   -1    ( tre stati diversi)

 

sommando  1+3 = 4    segue  4x2 = 8   = soluzioni  diversi con la medesima energia, detta seconda energia o più tecnicamente secondo stato eccitato.  Il che significa, stando a quanto abbiamo detto prima,  che in questo stato energetico possono coesistere 8 elettroni.  Costruiamo per meglio  chiarire tabella:

 

 

 

 

n              l             m             s

2              0             0          +1/2

2              0             0          -1/2

2              1             1          +1/2

2              1            1          -1/2

2               0           0          +1/2

2                0          0          -1/2

2                 1         -1         +1/2

2                 1         -1         -1/2

Contate il numero delle righe ….sono 8,… 8  combinazioni possibili

Dunque per n= 1  abbiamo nel  primo livello  energetico ( o orbitale o strato denominato con la K)  2 elettroni ( completo)

Per n= 2    abbiamo  nel secondo livello  energetico (  o orbitale o strato denominato L)   8  elettroni  ( completo, cioè non contenere più elettroni)

Proviamo per n =3   si ha :

m= -2 , -1, 0, +1, +2

 totale 5 combinazioni  a cui vanno sommati quelli per n= 1, che come abbiamo visto, sono 1, e quelli per n= 2, che come visto sopra, sono 3, quindi:

1+3+5 = 9  

Che va moltiplicato per 2 per la ragione spiegata sopra) per cui abbiamo un totale di soluzioni diversi:

9x2= 18

Pertanto per n= 3  abbiamo il terzo livello energetico ( o orbitale o strato denominato M)  con 18 elettroni ( completo)

Proviamo per n = 4

m= -3,-2,-1, 0 , +1, -2, -3  = 7 combinazioni

più quelli per n= 1, 2, 3   danno

1+3+5+7 = 16     

16x2 = 32

Cioè 32 soluzioni ( detti funzioni d’onda)  diversi  del tipo  (n,l,m,s)

Quindi per n= 4   si ha un quarto livello energetico ( o orbitale o strato detto N)  con 32 elettroni che  praticamente potrebbero ( ma non che debbono) esistere.

In conclusione e in maniera più pratica facciamo con esempio fate cosi: immaginate di voler costruire un atomo che contenga 30 elettroni. Prendete un elettrone per volta e immaginate di spingerlo verso il nucleo , che sapete contenga 30 protoni ( oltre naturalmente il numero dei neutroni).

Al primo livello sapete che potete sistemare al massimo 2 elettroni con spin opposto, dunque

K)                                                                            2

 Per costruire il secondo livello basta partire da 2 elettroni, ovvero

e sapendo che ne può al massimo contenere 8, suddivideteli cosi

L)                                                                          2+6.

Poi per terzo livello partite da 2 + 6  sapendo che può contenere al massimo 18,  suddividiteli cosi

M)                                                                      2+6+10

poi partite da questo ultima combinazione cioè

2+6+10  =18  e sapendo che il quarto livello ne può contenere 32, basta aggiungere a 2+6+10  la differenza cioè 14, e quindi avrete

N)                                                               2+6+10+14 = 32

Poiché l’atomo che vogliamo costruire è di 30 elettroni, basta sottrarre 2 al ultimo numero 14 della combinazione e quindi scrivere

2+6+10+12

E potete dire  al vostro amico, se hai 2 elettroni da sistemare e non sai dove metterli portali da me che ho posto per altri 2 elettroni.

Inoltre noterete che man mano che gli elettroni cresceranno la loro energia di legame, data

crescerà  ( tenete presente il segno -) , non solo, la loro interazione diventa più forte

Ricordarsi che nelle reazioni chimiche tra gli atomi, gli elettroni esterni  nei vari atomi sono i veri “costruttori” delle proprietà chimiche dei legami, che danno origine cioè ad un numero pressoché infinito di molecole, di conseguenza atomi diversi che hanno lo stesso numero di elettroni nello strato più esterno hanno comportamenti chimici pressoché simili, indipendentemente dal fatto di possedere un numero diverso di elettroni nei sottostrati completi: la periodicità degli elementi chimici è dovuta propria a questa proprietà degli atomi (  da qui il nome di tavola periodica).                                           Figura 1

Cosi facendo abbiamo per cosi dire ricreato un modello di atomo “ visivo”, con differenza fondamentale, i suoi elettroni non solo sono punti materiali, sono anche onde e hanno uno spin. Ma è proprio cosi? Risposta “si” e no!!  Il “si”, tra virgolette,  perché la teoria di Schrodinger ricrea quasi modello classico, nel senso che ci permette di “ immaginare” gli elettroni “danzare dentro degli ’orbitali, anziché su orbite ben definite,  ….ma il no è prevalente proprio perché le soluzioni dell’equazioni di Schrodinger danno solo la probabilità di trovare gli elettroni li, piuttosto che là, ovvero è più probabile trovare gli elettroni più vicino, per cosi dire, al proprio nido,  piuttosto che là, lontani dal nido ( nucleo).  Il modello ( matematico) di atomo di schrodinger va visto come una nube  dai contorni non bene definiti e distribuita spazialmente attorno al nucleo, la cui densità diminuisce man mano che si allontana dal centro.  Ma è un modello unico? No, perché abbiamo accennato che gli elettroni, come tutte le particelle, hanno due “carte d’identità”, una che li ritrae come corpuscoli, l’altra che li ritrae come onde. Potendo pensare gli elettroni  dentro l’atomo come onde, dobbiamo dire che sono onde stazionarie.  Si dice onda stazionaria quando un’onda viaggiante viene riflessa all’indietro lungo lo stesso cammino, da questa definizione dobbiamo dedurre che l’elettrone-onda interferisce costruttivamente con se stesso,… senza però dimenticare la presenza del nucleo che, intima in relazione con gli elettroni, avrà la sua influenza ( nucleo-elettroni è un connubio armonico e perfetto).

Ma per davvero cosi? ….E’ possibile ma non certo,  possiamo solo dire con certezza  che gli elettroni, effettuando uno sperimento, creano figure di interferenza, cioè tipiche delle onde che interferendo,  per sovrapposizione, ci cancellano ( strisce scure,  buio) e/o si rafforzano ( strisce chiare,  luce) vedi fig.1. Cosi come due onde sonore, interferendo , possono creare punti di silenzio assoluto e punti di ascolto massimo. Tutto ciò è molto bello, oltre che interessante perché  trova numerose  applicazioni tecnologiche; ma non solo, bello perché dietro ancora esiste  molto mistero che attrai la nostra immaginazione e i nostri sensi.

In chiusura di questo argomento voglio semplicemente ricordare che avendo costruito mentalmente saldando gli elettroni attorno al nucleo, ci siamo “ accorti” che nel tentare di rompere la loro saldatura per rendere nuovamente liberi gli elettroni era necessario inviare su essi non energia qualsiasi, ma una energia precisissima. Facendo un esempio, per intenderci, volendo far saltare fuori dal suo strato l’elettrone dall’atomo di idrogeno bisognerà fornire 13,6 eV, , provando  invece di inviare su di esso un’energia di pochissimo più piccola come 13,59 eV l’elettrone resterà per cosi dire indifferente. I soli elettroni, per non parlare del nucleo, sanno fare molte altre cose che ci lasciamo a bocca aperta ma nello stesso tempo attraggono i nostri sensi e la nostra curiosità.

 Leopardi, immaginando l’infinito, dava un senso di pace alla sua mente,…..io immergendomi nei misteri della natura, anziché stancare la mia mente, la rilasso …è sorprendente questo “lavoro”, ..non stanca mai …. Se dialogo tra gli uomini o tra le religioni fosse come gli dialogo tra me e la natura troverebbero tutti certamente la pace e l’armonia.

 

La natura  portava in seno sia entità del continuo (onde) che del discontinuo ( corpuscoli) e sorprendentemente era pronta la matematica del continuo e del discontinuo. Come si ricava la formula di Planh E=hf e come si determina la costante h che cambio il modo di guardare la natura?

Quando si affrontano temi di natura che vanno al di là di quello che si sa, cioè del mondo fisico, si entra inevitabilmente  sulla natura dell’intero creato e conseguentemente su un terreno molto spinoso dall’implicazioni filosofiche o teologiche. Questi  temi mi sono molto cari e non trovo personalmente nessuna contraddizione tra scienza e filosofia, perché entrambi  sono connessi e complementari l’una all’altra. Vediamo perché dal mio punto vista. L’universo a noi noto, nonostante le sofferenze  della vita,  è armonioso e variabilissimo. Le variabili in gioco non si riescono a contare, anzi si “contano” come  i numeri facenti parte dell’infinito potenziale, 1,2,3……N . Riflettendo di un universo cosi inteso e potenzialmente implicante infinite variabili, mi viene in mente un’immagine a me tanto cara, quella di pensare al suo creatore che ha in sé l’infinito attuale e  noi  possediamo l’infinito potenziale o numerabile, attraverso il quale rincorriamo quello attuale.  È proprio in questo che trovo tutta la nostra ricchezza di vita, perciò tra arte scientifica e arte filosofica esiste un nesso intrinseco che è in noi stessi. Tuttavia il tema rimane aperto diversificandosi tra gli atei, i credenti, tra questi i più ortodossi o fondamentalisti. Ha senso questa diversificazioni? Ha senso fino che a  nessuno è permesso di rinnegare la dignità e l’umana razza: escludendo ciò, tutto  è discutibile. Alla fine di una discussione però dobbiamo concludere e tirare fuori i risultati. Allora, come in una vera democrazia, contano i risultati oggettivi e l’evidenza. Nessuno prima delle numerosi scoperte scientifiche poteva immaginare che le due matematiche, quella del discontinuo o discreta e del continuo, potesse un bel giorno, nella sua astrattezza, combinarsi o incrociarsi con delle entità fisiche, emergenti dal più profondo nascosto.  Senza la matematica discreta Plank non poteva costruire un’equazione in serie, dalla quale emergeva che la luce si comportava pure come punti materiali o grumi di energia, numerabili hf,2hf…….nhf. E se dunque la natura fa il doppio gioco, la matematica era già pronta a sfidarla ad armi pari. Certo, la natura nasconde tantissime variabili, ma matematica contiene le sue variabili. La natura si presenta bella e semplice, la matematica sa costruire equazioni apparentemente complicate, dalle poi emergono soluzioni semplici e con numerose conseguenze. E a questo proposito  e per le sue conseguenze perciò  voglio insieme a voi costruire l’equazione di Plank che ha dato inizio alla fisica quantistica.

Plank fu fisico del 900 che amava pensare, piuttosto che starsene dei lavoratori sperimentali. Conosceva bene la fisica classica e per un teorico come lui doveva conoscere necessariamente la matematica, perché senza la conoscenza della matematica non si possono inventare le grandi teorie scientifiche . Amava pensare e quindi ragionare con la propria testa seduto a tavolino con carta e penna. Ai suoi tempi dominava in contrastata la teoria di campo, quello elettromagnetico, una teoria  brillante di Maxwell, dove la luce o meglio tutto lo spettro elettromagnetico erano presentati come fenomeni  ondulatori. Una carica accelerata, per intenderci per esempio un elettrone, emette sempre un’onda elettromagnetica con la stessa frequenza dell’elettrone, per inciso un’onda che trasporta un’informazione, che trasmettendola da un emittente arriverà ad un ricevente. Tutte le diavolerie elettroniche, radio, televisioni, telefonini e cosi via li dobbiamo grazie alla natura, che tra le tante cose bellissime, ci regala un mezzo potentissimo di informazione per poter oggi dialogare con i posti più lontani.  Lo stesso calore  emesso dal nostro corpo si propaga sotto forma di onde elettromagnetiche o di radiazioni, trasparenti alla nostra vista. Un corpo nascosto, per esempio, da una barriera lo potremmo lo stesso vedere se i nostri occhi potessero percepire la radiazione emesso dal corpo, perché in questa radiazione c’è l’intera immagine “ topografica” del corpo nascosto. Ricordiamo tra le onde elettromagnetiche i raggi gamma, i raggi x, ultravioletti, le nostre, cioè quelle visibili, gli infrarossi, le microonde, le onde radio. La sola differenza che distingue una radiazione dall’altra è la loro frequenza e la loro lunghezza d’onda. Tutto lo spettro è dovuto alla presenza degli atomi. La materia è fatta di atomi, un corpo nero è fatto di atomi.

Il corpo nero è il corpo per eccellenza più conosciuto, al quale PlanK , immagino pensasse, quando a tavolino scriveva la sua teoria che ha poi rivoluzionato il corso della fisica. Il corpo nero in realtà non ha nessuna specialità particolare nel senso che, come già detto, è composto di atomi, l’unica particolarità è la forma, cava  simile ad una sfera, che mette il suo interno cavo in comunicazione con l’esterno tramite un piccolo forellino, dal quale può uscire anche la radiazione emessa dagli atomi del corpo nero. Perché nero? Ogni  giorno vediamo corpi neri senza però che nessuno ne faccia caso, per esempio di giorno chi guarda verso l’interno attraverso di una casa attraverso la finestra difficilmente vediamo le persone che stanno all’interno. Perché? Noi vediamo una cosa se di quella cosa arriverà ai nostri occhi la sua luce riflessa, altrimenti non vediamo nulla, anzi vediamo nero, nonostante all’interno la luce riflessa sbalza da una parete all’altra. Più piccola è finestra tanto meno probabile è che,  la luce che entra, poi uscirà, perché viene assorbita dalle parete. Cosi funziona grosso modo il corpo nero. Un corpo si dice nero in quanto assorbe tutta la radiazione che riceve e non ne manda sui nostri occhi, anzi ne manda pochissimo.

La pressione  è un concetto statistico, nato per misurare la forza media agenti  su un numero grandissimo di particelle. Basta pensare che un grammo di atomi o di molecole vi sono 6.  atomi o ( o di molecole, hanno lo stesso numero di Avogadro), sarebbe praticamente impossibile applicare su un singolo atomo o molecole la seconda legge di Newton F= ma, perciò si è fatto ricorso al concetto di pressione, definita come

p= F/A

la forza F che a noi interessa ora è quella gravitazione, cioè F = -mg. Inserendola nella formula

p= -nmg/A

n compare per il fatto che n molecole ad un certo istante, risalendo dal basso verso l’alto a temperatura costante T, e non soggette ad alcuna altra interazione,  si troveranno alla stessa altezza h ,per cui la forza agente su ognuna di esse è uguale mg, la cui risultante o somma sarà nmg, ma non solo di conseguenza le n molecole che raggiungeranno la medesima altezza h avranno la stessa velocità, non vi pare?

Poiché la massa m = ρV   si ha

p= ρV/A =  nρAgh/A = -nρgh

come si vede la pressione dipende dall’altezza h, a temperature costante T, per cui possiamo anche scrivere

p(h) = ρh   il cui differenziale è       

                                                                              dp = -nρgdh

ammettiamo di avere n = N/V numero di molecole o di atomi per unità di volume V, di voler calcolare il valore medio della loro velocità in funzione della posizione h. Gli atomi o le molecole  singole li troviamo nei gas ideali o perfetti, per i quale vale la legge

pV= nkT

dalla quale ricaviamo p= nkT/V   che sostituendo nella prima otteniamo

dn = -nρgdh V/kT

da cui per integrazione dn/n = -mg/kTdh, 

logn = -mgh/kT  +lgc      da cui               n = c 

per h = 0  la densità n  della molecole sarà uguale     dunque

n =       

mgh è l’energia potenziale, che è uguale all’energia cinetica degli n atomi o molecole che raggiungeranno la stessa posizione con la medesima velocità v,    ovvero

mgh = ½ m =E

per cui più genericamente possiamo scrivere

n =       

 

di questa formula si è servito Plank per poi rivoluzionare o sconvolgere dalle fondamenta la fisica classica.  Era l’anno 1900 quando Plank introdusse la sua costante k,  bisognava aspettare l’anno 1905 per sapere che massa ed energia fossero equivalenti. Questo confronto di date è importate non solo per apprendere l’evoluzione della fisica, ma anche per apprezzare di più i pensieri o gli sforzi mentali di Plank  in quell’anno mirabile, 1900.

Quale fu  il pensiero “ fulminio”di Plank nel 1900,  che doveva sconvolgere poi la fisica classica?

Ebbe l’idea di pensare che l’energia degli oscillanti fosse direttamente proporzionale alla frequenza. Plank fu indotto a questa sua idea perché non convinto che la materia fosse composta da atomi. Questa convinzione non era del tutto fuori luogo, perché nessuno li aveva infatti mai osservati. Cosi ebbe l’idea di spezzettare l’energia: pezzi o granuli di energia legati alla frequenza tramite una costante h. Scriviamo questa sua idea in termini di rapporto

E/f= Cost = h

Pensare l’energia cosi vuol dire di poter scrivere:

E/f = 2E/2f = 3E/3f =……………………..nE/nf = h

Uguagliando  l’ultima  e la penultima per esempio otteniamo

nE  = nhf =   , energia totale  di n “atomi” che emettano la stessa energia, dopo averla assorbita.

Per n= 1   si ottiene l’energia minima   =hf   che non è altro che uguaglianza della prima con l’ultima.

Dal confronto tra            =  nhf     e             =hf  

Notiamo che l’energia      è n volte multipla di  =hf , ovvero  = n    quindi  è il minimo grumo di energia ( quanto).

Per cui

 =hf   ,  =2hf   ,   =3hf    …………       (1)

Di conseguenza gli atomi, riscaldati cioè fornendo loro energia, nell’emettere poi l’energia ricevuta sono  per cosi dire “costretti” ad emettere l’energia ( radiante) a “ Numero”, cioè   per cosi dire numerata.  ….” Costretti un corno”!... Direi  oggi.  Perché la natura non fa le cose a caso, ma le sa dosare in misura infallibile ( “divino”) da reggere a qualunque esperimento che l’uomo potesse attrezzare nel modo migliore possibile, sempre che riuscisse  a farlo ( basta pensare per esempio  del perché del principio di indeterminazione del quale parleremo più il là ).

Gli atomi non possono quindi emettere una qualsiasi energia.  Vi possono  essere atomi  che emettano l’energia , …   atomi che emettano energia      e cosi via ,

e poiché il numero n di atomi che emettano uguale energia è dato dalla formula ricavata prima, cioè n =            con E= hf

possiamo scrivere che:

 =       ,           =       ,          =             ecc. ecc.        (2)

 

Nota: Il numero       corrisponde ad atomi che emettano zero energia. Perché, zero energia?  Basta ricordarsi come è stato ricavato  . Non stato forse ricavato potendo h=0?  La posizione h= 0 , significa che gli atomi sono “fermi”, o meglio  nel loro stato naturale, perché fermi non lo sono mai, ma che tuttavia sempre alla ricerca dell’energia più piccola possibile, in questo modo nascono realmente i legami, e dunque le molecole.

A questo punto è facile trovare il numero n totale degli atomi ( definiti oscillatori), basta fare la somma

n=       +        +           +…………  ovvero

n=     ( 1+    +     +       +........)

Ma questa non è forse una serie geometrica?  Si, allora possiamo scriverla anche cosi

n=  

la cui somma è     n=           =      

quindi

n =                          (3)

a questo punto è possibile calcolare l’energia totale E ,

E= ++………….  (4)

Tenendo conto delle formule 1 e 2   e sostituendo nella 4:

E=       hf +   +   2hf  +  +   3hf +………=

E=  hf    hf      ( 1+    + 2    +  + 3     +………….)    (5)

       Questa è una serie convergente, si tratta di sapere trovare la sua somma . Come?

Il problema sono i coefficienti 2,3,…….N. sappiamo però che se riuscissimo a trovare una serie più grande in valore ma convergente , dai teoremi sulle serie sappiamo che se una serie più grande converge, convergerà ,a maggiore ragione, la più piccola. L a serie maggiorata di confronto è

        (6)

Essendo la serie 5 minore della serie maggiorata 6 convergente, convergerà  allo stesso limite della 6 ( vedi il teorema del confronto sui limiti di funzioni).  Poiché serie 6 entro parentesi quadre è una serie geometrica converge,  per cui conoscendo la somma della 6, per il teorema del confronto, si conoscerà la somma della serie 5.  Quindi non ci rimane che calcolare la somma della serie 6, data dal limite:

E=   (  ) x      =  (  )         (7)

A questo punto riprendiamo la 3, cioè    n =                dalla quale ricaviamo          

Che andiamo poi a sostituire nella 7, a conti fatti con pochi passaggi algebrici, si ottiene:

E= nhf                   (8)

Dividendo ambo i membri per n  oscillatori si ha

E/n = hf    = energia media di uno solo oscillatore =  , ovvero

= hf               (8A)

Tenuto conto che n = N/V  

Possiamo scrivere la 8 sotto forma

E/N/V =       E V =    N hf    = nV (hf )

In volume infinitesimo dV

(E/n)dV =   (hf ) dV      segue che    = hf    dV = ρdV = dM

Cioè totale contenuta in volumetto dV

Allora  (hf )   è una densità  energetica

Il  problema  è come calcolare la costante h. Sapendola calcolare, come del resto Plank ha saputo, significa poter affermare  che l’energia,  E= hf si presentava a grunuli, non mezzo granulo, ma un granulo di energia, 2 granuli di energia e cosi via. 

 Plank non falli.  Sapeva che l’energia E, che è  una quantità macroscopica misurabile, era direttamente proporzionale alla quarta potenza della temperatura , cioè

                                               I= σ         10

che è l’energia totale.

Questa stessa energia totale Plank pensava di poterla ottenere attraverso una pioggia di granuli di energia, cioè la totalità dei granuli, anche con differenti frequenze, doveva essere uguale a      E= σ.

Fermiamoci qui per il momento, perché per riagganciarci a questa energia totale, misurabile e ricavata teoricamente, dobbiamo sapere a che cosa la frequenza o la lunghezza d’onda come e perché fosse legata al numero d’onda k. Cos’è il numero d’onda? Si sapeva, e si sa, che un’onda fisica, intesa dal punto di vista matematico, era un curva che ripeteva se stessa per ogni percorso   o lunghezza , detta appunto lunghezza d’onda, in altre parole era una curva periodica, che dal punto di vista fisico era un’onda di energia. Se noi volessimo sapere quante di queste lunghezze d’onda entrano in segmento lungo 2π, cosa dobbiamo fare? …..il rapporto tra 2π e λ, non vi pare?

Allora scriviamo

2π/λ = k = numero puro         11

E poiché 2π è una misura costante ci è permesso scrivere anche

Poiché la lunghezza λ  misura percorso, per esempio nella direzione dell’asse x, è facile dire che l’energia si muove alla velocità data λ/t = v, ovvero λf= v.  inoltre si sapeva e si sa che  in un mezzo o in corpo fisico  omogeneo ( vuoto, gas, atmosfera, acqua, vetro, ….e cosi via) , la velocità rimane la stessa , cioè è invariante. Per cui frequenza e lunghezza d’onda sono inversamente proporzionali. Se la lunghezza d’onda diventa sempre più piccola, la frequenza al contraria cresce nella stessa quantità in modo che, lunghezza d’onda e frequenza abbinati in prodotto, lasciano il loro prodotto, cioè la velocità invariata. Ammettendo allora che la lunghezza d’onda va da un valore piccolissimo dλ,  il più piccolo possibile, ma mai zero, (si dice che tende a zero),  a un valore λ, grande fino all’infinito (  meglio si dice che tende all’infinito), avremmo cosi la possibilità di trovare tutte le onde fisiche o elettromagnetiche di tutte le specie per cosi dire. La loro somma da come risultato l’energia totale.

Detto ciò ammettiamo di avere un corpo, a forma di cubo, vuoto al suo interno e le cui facce o superficie esterne abbiamo un spessore s. ammettiamo di riscaldarlo. Il cubo assorbe energia attraverso le sue parete esterne.  Il calore assorbito dalle parete esterne ( energia totale), dopo attraversato lo spessore delle parete, uscirà  dalle parete interne per trovarsi all’interno vuoto del cubo. Poiché il calore è radiazioni di diverse frequenze o lunghezze d’onda. Potendo ammettere a questo punto di mantenere, il cubo in queste condizioni, cioè ad una certa temperatura T = costante, se potessimo guardare agli occhi della mente all’interno della cavità “ avremmo una infinità di onde rimbalzare da una parete all’altra non avendo modo di uscire. È a questo punto che noi decidiamo di praticare un forellino su una delle facce del cubo. Cosa accadrà? ..vedremmo ogni tanto uscire una radiazione o un’ onda ( se potessimo vederli tutti con nostri occhi) e captarla con apparecchio di misura, e misurarne la sua energia, e quindi la sua lunghezza d’onda o frequenza. In questo modo ci è possibile fare delle misure accurate, e perfezionando nel modo migliore le misurazioni, avremmo la possibilità di capire che l’intensità I di queste radiazioni uscenti  è direttamente proporzionale alla temperatura T elevata al quarta, ovvero

I = (E/t) A = σ                                   con E/t = potenza P     e   quindi  I = P/A   e  σ = costante.

Posto che A= 1    e t= 1   avremmo l’intensità I  = all’energia E per unità di area e per unità di tempo.

Fermiamoci qui e sempre con gli occhi della mente di guardare all’interno della cavità del nostro cubo ( poi lo chiameremo corpo nero).

Cosa abbiamo detto di vedere?  Le onde rimbalzare da una parete all’altra. Cosa ci fa ricordare questo?  Che le onde sono stazionarie, cioè non avendo modo di uscire, sono costrette a comportarsi come una corda fatta oscillare e fissata ai due estremi. Gli estremi sono dei vincoli.

Ai vincoli l’onda è costretta ad azzerarsi. Cosa si azzera dal punto di vista matematico? La sua ampiezza variabile

f = A senkx .senωt, ovvero

f = A senkx .senωt =0

per x= o  e x = l = lunghezza tra due parete interne del cubo.

Onde senkl= 0        segue che                      

kl = nπ    12

Cos’è n?  è un numero intero n= 1,2,3,4…………..direte voi, lo abbiamo appreso dalla trigometria.

  È vero, ..ma ci permette di distinguere dal punto di vista fisico il numero delle varie lunghezze d’onde o frequenze. Non vi pare? Allora se non riuscite ad immaginarlo con la mente, lo facciamo con la matematica, iniziando  con il porre   k=2π/λ  ( vedi la 11) nella 12:

2π/λ  l = nπ

Da cui    

                                                                    λ=2l/n     13

per ogni n abbiamo una lunghezza d’onda. Cosa deduciamo?  Che possiamo fare due cose insieme: contare il numero e il tipo di radiazione.  Per n= 1  avremo un tipo radiazione o onda , che chiameremo fondamentale, il che significa conoscere la sua frequenza e quindi la sua energia ( e a questo punto mettevi in mente  la formula  E = nhf, scritta per la prima volta da Plank, ….tenete bene in mente) .

nota:il numero n, in altre parole, ci indica il numero N per unità di volume (n = N/V ) di tipi di frequenze possibili, che di conseguenza né dipendono, infatti frequenza f o lunghezza d’onda sono legate al numero n:

chiariamo meglio il rapporto n= N/V     è simile al rapporto    ρ= m/V     dunque n è una densità di oggetti contenute nel volume V, tali oggetti ( atomi, molecole, grumi di energia, fotoni…ecc,ecc..) non formano il continuo, ma il discontinuo.  N  è il totale di oggetti = nV

λ=2l/n      e      f .λ = c      segue   che     f. 2l/n = c   ovvero

f= nc/2l    14

adesso generalizziamo, n generico è stato ricavato pensando ad un’onda diretta o polarizzata lungo l’asse x, in realtà le nostre onde elettromagnetiche ( o meglio fotoni) N per unità volume, cioè n hanno tre gradi di libertà e dunque tre n, ovvero  ,,  

per cui  adottando la kl = nπ   , e corrispondentemente  ,,    , con    k = nπ/l

e k  è una grandezza vettoriale la cui risultante  è

  K =     15

analogamente la risultante degli  ,,    e il numero N,

ovvero          N=

tenendo allora conto che

K=  =  =

 

K=  π/l ()        =  N          16

 

 Essendo  d’altra parte   K =    

   = N    17

    Essendo poi  λ=c/f      sostituendo avremo

f= N     18

differenziando     df =  dN       da cui  

dN = df   20

riprendiamo la

K=  π/l ()        21

Quadrando ambo i membri avremo

   =       22

Essendo    K= 

Cosa rappresenta questa equazione?    Non è forse l’equazione di una sfera di raggio

r=    ?

troviamo anche

=    =                         segue che       r = N =  =   

D’altra parte N = n V

Il volume   della sfera   è  V = 4/3 π  = 4/3π   di cui dobbiamo prendere un 1/8, poiché il nostro cubo di spigolo l, occupa lo spazio oxyz, cioè 1/8 di V

Ovvero  1/8(4/3π

Allora         N = n 1/8(4/3π                  con  k =2π/λ

Si ottiene  in definitiva   che  

 N = nV=   4/3 π                             23

Essendo   il volume del cubo , dividendo la 23 per   si trova

N/V = nV/ = n =4/3 π  = numero di modi possibili per le onde longitudinali, per trovare i modi delle onde trasversali basta moltiplicare n per 2, perché in queste vi sono due oscillazioni indipendenti.

in definitiva che il numero  dei modi possibili per le onde trasversali

n= 8/3 π 

derivando n rispetto alla lunghezza d’onda di ottiene

dn =-8π  dλ     24

ora riprendiamo la (8), ovvero

E= nhf                  

Si trova che

dE = hf      dn             

sostituendo in questa la 24 si trova

 

dE= -  hf  dλ                  sostituendo   f  con c/λ

in definitiva si ha

dE= -  hf  dλ                                        25

 

per trovare l’energia totale basta integrale sapendo che l’energia totale era stata misurata pari a     E= σ 

E= σ  =      26

Ora non resta che calcolare l’integrale per determinare la costante h, vediamo come

Si pone intanto  

x=            da cui   λ=              differenziando 

dλ = -   dx            

sostituendo nella 26 e semplificando

σ  =        

nella compare T

σ     =              27

          non ci rimane che vedere come si calcola l’integrale    

per calcolare questo integrale bisogna ricorrere alla funzione zeta di Riemann e quella gamma, che si ottengono sviluppando in serie la funzione integranda, non lo faccio qui, scrivo solo che in definitiva si troverà che

= Г(p+1) ζ(x+1)     

Tenendo conto che ζ(x) =1+ ++…………… che per ogni valore di x si ottengono certi valori, che vengono tabulati: per esempio  ζ(2) =   , ζ(4) = ,    ζ(6) =

 mentre       Г(p+1) =p!           Con p numero intero

Dunque per p = 3  

Abbiamo            Г(3+1)= 3! = 1.2.3 = 6

Mentre           ζ(3+1) =  ζ(4)     =

= Г(p+1) ζ(x+1) = Г(3+1) ζ(3+1)  6   =                    con x=p

Sostituendo nella 27  ottiene

σ     =                                 

dalla quale ricaviamo la costante h

h=    =  Js = 6,62. Js                

 con K= costante di Boltzmann =  1,381x J/k e        =costante di Stefan 5,67x 

La  h è la famosa costante universale, attraverso la quale Plank poteva esporre alla comunità dei fisici  che l’energia potesse essere calcolata con  E=hf. Gli esperimenti poi tolsero ogni incertezza, in particolare quando Einstein scopri il fenomeno  fotoelettrico, il quale si spiegava proprio pensando alla materia che assorbiva ed emetteva energia a granuli, il quale poté scrivere che l’energia totale iniziale fosse hf= V.e+1/2m , come vedremo.

D’ora in poi possiamo pensare alla natura intrinseca della materia solo con gli occhi dell’immaginazione, a noi è consentito solo di vedere il suo comportamento intimo solo dopo aver eseguito su di essa un esperimento: se dall’esperimento venisse fuori una croce a noi è permesso solo di dire che la materia emette una croce, se poi attraverso un altro esperimento ripetuto venisse fuori una testa a noi è permesso di dire che la materia emette una testa. Non ci permesso più di pensare per esempio gli elettroni come corpuscoli. Siamo liberi di immaginarli pure come corpuscoli, ma non ci è permesso di affermare con assoluta certezza di essere corpuscoli….sono quel che sono, però enti nascosti, simili ai nostri pensieri, finché anche noi non esponiamo ad altri i nostri pensieri nascosti, a nessuno è permesso di dire con certezza quello che, in certo momento, ognuno di noi sta pensando, neanche la macchina della  “ verità”.  Con Plank inizia l’era della fisica quantistica ma di pari passo si sviluppa la fisica ondulatoria: due fisiche moderne,  cosi come vi sono due matematiche, quella discreta e quella del continuo, entrambi di pari “ dignità”.

Cosa è il fenomeno fotoelettrico?

Plank ed Einstein li possiamo definire due campioni del pensiero libero. Essi guardavano il mondo che li circondava con la mente e poi in mano una penna, servendosi di uno strumento potentissimo, la matematica. In altre parole erano due fisici teorici. Amavano pensare, più che passare le loro ore nei laboratori sperimentali. Evidentemente in loro e in generale  in tutti noi esiste pure un senso logico, fatto di percezioni , oserei dire, capaci di “ vedere” attraverso l’esterno l’interno delle cose che ci circondano e poi “comunicare” con i nostri simili. Mi spiego. Noi siamo fatti di atomi e dopotutto tutte le cose sono fatti di atomi: forse è permesso agli atomi di leggersi, per certi versi , a vicenda? Rimane ancora un profondo mistero. Sicuramente gli atomi sono internessi armonicamente, infatti oltre a dare la vita, danno vita alla coscienza o al nostro spirito. Di misteri in natura ve ne sono e come, ma la scienza ha fatto dei passi lunghi verso la conoscenza che ha dato modo all’uomo di creare applicazioni sofisticatissimi. Uno di questi applicazioni è il fenomeno fotoelettrico. Vediamo allora le caratteristiche dell’effetto fotoelettrico. Esso si spiega proprio applicando la scoperta di Plank. Seconda questa scoperta la materia, riscaldata, assorbe l’energia e poi la emette a quanti o a fotoni. I fotoni hanno energia E =hf. Come si vede l’energia dipende dalla frequenza, anzi possiamo dire che energia E e frequenza f  sono equivalenti, ovvero l’energia si trasforma in frequenze e viceversa. Se poi pensiamo alla famosa equazione di Einstein E= m , addirittura che dice che l’energia E si trasforma in massa, e viceversa, di conseguenza possiamo dire che le vibrazioni creano la massa. Non vi pare? Infatti possiamo scrivere m =hf , da cui, come si vede,   m=/h f.

 Ritorniamo ai fotoni. Un fotone ha un’energia totale E = hf. Ammettiamo che questo fotone colpisce un elettrone, facente parte di atomo. Se l’elettrone è sincronizzato sulla stessa frequenza del fotone, assorbe il fotone. L’elettrone , associando alla sua energia l’energia del fotone, salta fuori con una velocità v rompendo cosi il suo  legame con il proprio atomo. La rottura del legame   ha un costo, per cosi dire, di energia ( potenziale) pari a  Ve. Cosi possiamo scrivere per il principio della conservazione dell’energia totale E=hf:

hf= Ve +1/2m

come si vede la fuga dell’elettrone dipende unicamente dalla frequenza o che è lo stesso dalla lunghezza d’onda alla quale la frequenza è legata tramite fλ =v.

in questo modo possiamo creare un flusso di elettroni in movimento, e quindi un passaggio di corrente elettrica. Pertanto è possibile, sfruttando il fenomeno fotoelettrico, trasformare l’energia luminosa in corrente elettrica. Le cellule fotoelettriche, gli esposimetri per fotografia e cosi tante altre sofisticate diavolerie elettroniche nelle tecnologie. Per esempio la luce del sole o la luce di una semplice lampadine, illuminando ……………………………………

Perché  gli elettroni non cadono dentro il nucleo?  La stella di neutroni.