Cos'è la matematica?
Per fare un esempio, Einstein, prima ancora che la sua teoria sulla relatività generale fosse confermata dai dati osservativi e sperimentali, servendosi della matematica di Riemann, del calcolo differenziale assoluto, tensoriale di Levi-Civita- Ricci-Corbastro, fece vedere che la struttura dell'universo è geometria, la geometria dello spazio-tempo, e, a sua volta, la geometria " costruttiva" dell'universo è energia o materia. La materia-energia curva lo spazio-tempo; e lo spazio-tempo, come struttura geometrica, " dice" ai corpi come e dove muoversi. Una geometria dinamica, il cui impalcato, vibrando, emette onde gravitazionali alla velocità della luce, similmente come una carica elettrica accelerata emette onde elettromagnetiche.
A chi chiedeva ad Einstein, a proposito della teoria della relatività generale, cosa avrebbe pensato se la sua teoria si fosse rivelata sbagliata, rispondeva:... " Mi sarebbe dispiaciuto per il buon Dio. Sapevo che la mia teoria era corretta”.
Questo dimostra la potenza della matematica e la sua logica. La matematica è logica. E' facile, essendo logica.
Il fatto che la matematica si presta a descrivere la natura delle cose, di conseguenza, si deduce che l'universo con le sue cose seguono o hanno una loro logica. Cosi l'universo sembra pensato, piuttosto che generato per caso. Ciò per la vera scienza, per certi versi, si sta rivelando una sorpresa, invece per la teologia non è una sorpresa. Chi sa che la vera scienza, un giorno, finirà per confermare, almeno per certi aspetti, la posizione della Chiesa nei confronti del creato?
Cari giovani Studenti, dunque, non guardate la matematica come freddi numeri o come calcoli noiosi! Essa è il calcolo sublime. Per alcuni, oltre che il linguaggio della natura, è il "linguaggio"di Dio. Essa fa vedere fin dove l'occhio non vede.
Tratta infatti, anche, problemi dell'infinitamente piccolo. La matematica si applica in numerosi campi: in ingegneria, in fisica, in chimica......, in fisica moderna, quantistica, nella meccanica quantistica molecolare ( vedi equazione differenziale d'onda di Schrodinger).
Quando, dopo la maturità scientifica, io dovevo decidere quale facoltà scegliere, scelsi ingegneria; cosi potrò, chiedendomi tra me e me, applicare la matematica. Non mi sono sbagliato. Il mio intuito si rivelò giusto: ho potuto capire ed apprezzarla di più.
La matematica è un linguaggio astratto di per sé, nel senso che i numeri, tutti numeri, reali ed immaginari, sono simboli, detti numeri. Però se ad ogni simbolo numerico facciamo corrispondere un oggetto qualsiasi che trovasi nell’universo, ivi compresa la materia-energia unitamente alle cariche elettriche ( solo per cosi dire perché dopo tutto, tutto si riporta o corrisponde alle materia-energia e alle cariche elettriche), allora i numeri rappresentano la realtà fisica, diventando ( i numeri o le soluzioni di una equazione) "concretezza" visibile ed invisibile ai nostri occhi. La grandezza della matematica si coglie meglio quando attraverso di essa, noi “ vediamo” ciò che nostri occhi non possono mai vedere. Pensate l’infinitamente piccolo. Un raggio di luce i nostri occhi lo vedono, ma la luce visibile è solo una piccola parte facente parte di un più ampio spettro del campo elettromagnetico. I raggi x sono invisibili per esempio. Gli elettroni sono invisibili ai nostri occhi, ma non solo attraverso la matematica noi abbiamo potuto “ vedere” esistenza dell’antielettrone o del positrone, infatti previsto da Dirac attraverso le soluzioni della sua inventata equazione matematica, poi confermato dalla sperimentazione: della sua equazione Dirac diceva ..."la mia equazione è più intelligente di me"
Prendendo in considerazione un elettrone, solo per comodità, ma il discorso vale per tutte le particelle in generale, esso è visto come onda o come corpuscolo. L’onda da l’idea di una curva ondeggiante senza discontinuità, insomma per brevità, l’immagine del continuo. Esiste pure la matematica del continuo. L’elettrone visto come corpuscolo, una successione di elettroni è vista come una curva discontinuo, fatto cioè di “ vuoti” e di pieni. Esiste pure la matematica del discontinuo. Due realtà fisiche, due matematiche, quella del continuo e quella del discontinuo. Non vi sembra sorprendente per certi versi questa corrispondenza? L’universo si scopre in certo modo, e subito si fa avanti un mezzo per farsi indagare. E come se la matematica non fosse un invenzione dell’intelligenza umana, ma già intrinsecamente legata alla natura delle cose. Ma attenti: non è finita qui. Vi è la geometria, quella euclidea e quella non euclidea. L’universo è geometria, una geometria costruita attraverso “mattoni” ( massa) e “leganti” ( cariche elettriche). La geometria è costruibile attraverso la matematica differenziale: quindi, in breve, un universo è matematico?
Quanto sono stati grandi uomini come Galileo, Newton, Leibiniz, Gauss, Riemann, Levicivita, Ricci, Einstein, Cantor, Godel, Cohen , per citarne solo alcuni. Oggi ho fatto solo la mia parte, domani è un altro giorno…………
Oggi è un altro giorno.
Ieri ci siamo posti la domanda se l’universo è matematico e abbiamo citato alcuni tra i giganti della matematica e della fisica.
Alla prima domanda iniziamo rispondendo cosi: L’universo è un sistema globale complesso e dinamico, dove tutti gli oggetti sono in interazioni tra loro. I numeri non sono oggetti, abbiamo pure detto. Essi sono solo estrazioni: rappresentano oggetti, perché noi uomini coscienti facciamo corrispondere ad essi oggetti. Inoltre dei nostri oggetti, alcuni li vediamo altri no. Vediamo, per esempio, per cosi dire la topografia del mare con tutte le sue sfumature, ma non vediamo gli oggetti che lo formano, cioè le sue molecole o i suoi atomi. Inoltre sappiamo che gli atomi sono onde o corpuscoli, è la scienza vera che lo dice. Non sappiamo ancora se le onde e i corpuscoli siano o formino un’ unica realtà fisica. Ma bisogna anche dire che questi oggetti, gli atomi o le onde, sono nati per cosi dire applicando la matematica delle probabilità, non quella delle due esatte, cioè quella del continuo o quella del discreto. Dunque, vi è già alla base di tutto una certa incertezza, comunque sia, non una certezza assoluta. Non voglio qui entrare nel merito della fisica quantistica, cito e ricordo solo l’equazione di Schrodinger ( più in là la tratteremo in qualche applicazione) e il principio di indeterminazione di Heisenberg, in particolare quest’ultimo, che ci dice dell’impossibilità di vedere come l’universo è realmente. E fino a prova contraria, paradossalmente, è la matematica ad indicarci in che modo l’universo si comporta; il suo microunverso, in particolare, possiamo pensarlo per certi versi similmente alle nostre intuizioni, che spesso per quanto tentiamo di scriverli a parole non siamo mai capaci di descriverli in un linguaggio perfetto o assoluto in modo che gli altri alla fine possono leggere persino i nostri sentimenti: in altre parole nessuno è capace di entrare dentro il nostro cervello. Entrarci significherebbe avere copie identiche di menti che provano gli stessi sentimenti. I nostri sentimenti sono illeggibili, eppure hanno una loro realtà intrinseca: se trattasi di realtà percepita in senso vero o falso è tutt’altra cosa. Qui stiamo toccando il senso del metafisico, che va ben oltre, per molti versi, il nostro discorso sulla matematica, ma non tanto per altri punti di vista pur rasentando implicazioni filosofiche, riguardanti il linguaggio della matematica stessa. Pensiamo, per esempio, all’infinto degli infiniti, cioè all’assoluto, che sta nel cuore della stessa matematica. A porlo ( l’assoluto) a fondamento è stato il grande matematico Cantor, a cui fecero seguito le enunciazioni di Godel prima e poi quelle di Cohen, di cui parleremo.
Oggi ho fatto la mia parte domani è un altro giorono………..
Oggi è un altro giorno
Ieri abbiamo citato godel e cohen.
Poniamoci questa domanda: quale il numero che viene immmediatamente dopo lo zero, per esempio? Pensate,pensate, riflettete, tentate di cercarlo.....
Cantor direbbe: impossibile trovarlo. Cosa significa però impossibile trovarlo? Significa per esempio che da zero fino ad uno ( 0-1) numeri reali, non solo sono infiniti, ma formano una continuità: il continuo. E trovare quindi il numero che viene immediatamente dopo lo zero o a qualunque altro numero è impossibile, nel senso che i numeri reali tra 0-1 non sono numerabili. La non numerabilità è sinonimo di continuità. Cosi con Cantor nasce l'idea del continuo. Secondo Cantor esiste il continuo, la matematica del continuo. Cantor però non riusci a dimostrarlo, dimostrò invece che l'infinito è un numero ben definito,nel senso che esiste per davvero. Inoltre dimostrò che esiste un genere di infinito superiore all'infinito stesso: l'infinito degli infiniti, cioè l'assoluto.Già la nostra mente, quando pensa all'infinito, va in un certo senso in tilt: figurarsi l'infinito degli infiniti, cioè l'assoluto, è impossibile. Ponendo Dio= l'Assoluto, si trae la logica conseguenza che nostra mente, non solo non riuscirà mai ad immaginarLo, ma neanche a dimostrarLo. Va aggiunto inoltre che noi stiamo parlando dell'infinito degli infiniti, cioè dell'assoluto, tratto dai numeri reali, non certo dall'universo fisico "numeralibile" o "non numerabile", ma di un universo, di cui non solo non conosciamo il suo inizio, cioè il suo tempo zero, ma di un universo fisico, complesso, intrigato,mutabile, dinamico ed armonico, olistico nello stesso tempo, eccc.ecc. insomma concepito con infiniti attributi, dove la nostra stessa mente per quanto potente potrebbe essere considerata, il computer dei computer, mai riuscirà a dimostrare, a maggior ragione, all'assolutezza di Dio, dalla cui Mente, " vediamo" nascere il nostro universo. In altre parole, già entrare nel cuore della dinamicità dell'universo è quasi, o meglio, impossibile, figurarsi di pretendere di intrare nella mente di DIo o cercarLo di descrivere con l'assoluto matematico attraverso la stessa matematica.
Attenti! Tutta la questione non finisce qui. Vediamo cosa infatti scopre Godel e poi Cohen.
Godel dimostra che l'ipotesi del continuo di Cantor è vera. Dunque la matematica del continuo è vera. "Peccato" che non è la sola. E' un peccato, per cosi dire, che la matematica del continuo non rimasta da sola, come vera, da fare da vera patrona o no? Non so rispondere. Fatto sta che Cohen ( 1963) dimostra pure vero l'opposto, cioè la matematica del discontinuo o del discreto è pure vera. Fatto sta che il mondo, come viene fino ad oggi presentato dalla vera scienza, è fatto di onde ( il continuo) e di quanti ( il discontinuo). E' sorprendente, prima ancora che le due matematiche, di pari dignità, fossero scoperte, già l'universo portava in seno onde e quanti!! Dunque non conosciamo la natura intrinseca dell'universo. Esso, è vero, si presenta a noi in due modi distinti,onde o quanti, non possiamo sapere però cosa cova realmente il nostro universo nella sua " mente"!!!
Oggi ho fatto la mia parte domani è un altro giorno...... dimenticavo di dirvi: se notate errori, mi scuso, vi prego di segnalarli...domani ritorno...
La matematica e la realtà fisica. I numeri reali vogliano, forse, ingannare il nostro spirito?
Diceva il grande matematico Leopold Kronecker ( 1823-1891) :
“ Dio ci ha dato i numeri naturali, ed il resto è opera dell’uomo”.
Vogliamo fare “impazzire” un grande matematico? Invitiamolo allora a dirci qual’è il numero, uno tra gli infiniti numeri reali, che viene immediatamente dopo lo zero, per esempio. Però essendo lui un grande matematico direbbe subito : è impossibile. La matematica che si occupa del continuo dice questo. …”Per intenderci, basta pensare che tra due numeri, per esempio estremi di un segmento piccolo, piccolo quanto la nostra immaginazioni possa renderlo, fino all’inverosimile, purché non nullo, esistono infiniti numeri , corrispondenti a punti non numerabili, e dunque infiniti insiemi, ciascuno dei quali costituito di infiniti punti o numeri reali, ( infiniti attuali). Questa è la potenza del continuo. Ma la questione non finisce qui. La cosa più sorprendente è che tra due numeri irrazionali, vicini, vi è una infinità di numeri irrazionali, superiore all’infinità dei numeri interi, cioè non basta, Cantor l’ha dimostrato, l’infinito dei numeri interi per contare l’infinità dei numeri irrazionali. E dunque la potenza infinita del continuo è superiore della potenza infinita dei numeri naturali interi numerabili. È qualcosa che la nostra mente non può immaginare, cioè è inimmaginabili che possa esistere un tipo di infinito superiore all’infinito stesso”, che di per sé è senza fine, che addirittura Galileo pensava che potesse escludere da ogni considerazione matematica. Lo stesso Cantor ha dimostrato che esistono diversi livelli di infinito, al di sopra dei quali c’è l’infinito assoluto ( Dio). I numeri di Cantor, andando oltre la realtà del finito, sono definiti transfiniti. Io, che mi ritengo persona che pensa con la propria mente, potrei rispondere: quel “numero” per cosi dire che viene immediatamente dopo lo zero è un qualsiasi “numero”, con la propria collocazione nello spazio-tempo …Però,.. vediamo in che senso e mi sia consentito una pausa di riflessione intellettuale. I numeri reali sono estrazioni mentali, corrispondenti punti senza dimensioni, che insieme costruiscono il continuo,almeno secondo la matematica cantoriana. I numeri reali sono estrazioni, costruiti dalla nostra mente, che, dal punto di vista geometrico, corrispondenti a punti, ci serviamo per rappresentare spazi, da una ad n dimensioni. Ora mi chiedo è possibile che il nostro spirito o la nostra coscienza, connessi agli atomi del nostro cervello, siano parti reali, senza dimensioni, indipendenti dal corpo? Le nostre estrazioni mentali, compresi pensieri, emozioni, consapevolezza e cosi via, di certo vengono fuori dagli atomi, che formano il nostro cervello. E dunque essi potrebbero essere quanti di energia (corpuscoli) o onde. Un quanto di energia ( o un quanto di azione E.t=h), secondo la fisica moderna, ha una dimensione (E= fh), sebbene la costante di azione h di Plank sia numero molto piccolo, prossimo allo zero ( h = Js); in questo caso essi, avendo una dimensione, non possono rappresentare neppure il continuo. Il continuo matematico o geometrico, pur ammettendo, non avente nessuno riscontro reale, nascano dalla nostra mente: è una scoperta dell’uomo. La nostra mente, quindi, concepisce il continuo. Allora, ammettendo, che il nostro spirito o lo stato di coscienza rappresentano il continuo, essi devono essere connessioni di parti senza dimensioni. In questo caso, il nostro spirito non può essere quanti o onde di energia, perché non vuoti. Potendo, per ipotesi, ritenere il nostro spirito o la coscienza, indipendenti dal corpo, essi violerebbero le legge fisiche. L’immagine del continuo è concepibile solo in due modi. O come estrazioni mentali, a parte l’insieme dei numeri reali, o come immagine tratta dal mondo fisico reale. Un esempio, traccio su un foglio di carta una retta con la punta, “sottile” quanto un atomo, di una matita. In realtà la retta tracciata rimane composta da una successioni di atomi e di "vuoti" ( si ricordi che gli elettroni si respingono tra di loro).......
Ma tra due atomi ( un " vuoto") in successione cosa c'è?...Vuoto vero o vuoto di energia?
Gli atomi però hanno una dimensione: essi infatti hanno una struttura interna, fino a prova contraria.
Essi dunque non possono rappresentare il continuo, infatti gli atomi, i fotoni, li possiamo contare, “quantizzare”, mentre l’insieme del continuo, no, cioè non è numerabile. Lo stesso accade disegnando un cerchio con un compasso. Il cerchio disegnato è un insieme di atomi, che insieme danno la lunghezza della sua circonferenza. Questo cerchio non rappresenta nemmeno il continuo, i suoi atomi possono essere teoricamente contati, cioè numerabili. Sembrerebbe cosi che la natura non ami il continuo, ma piuttosto il discontinuo ( il quanto). L’unica cosa possibile, continua, potrebbero essere il nostro spirito o lo stato di coscienza. Cosi lo spirito non sarebbe soggetto alle legge fisiche. Esso resterebbe staccato dal materia. Il nostro spirito o la nostra coscienza potrebbero rappresentare il continuo, parti vuote, ma esistenti. A meno che anche l’energia non sia l’unica e sola cosa continua a rappresentare lo spirito. In questo caso il binomio spazio –tempo che è un “concentrato” di energia, di conseguenza rappresenta anche il continuo. Ma siamo cosi sicuri che l’energia può rappresentare il continuo? Finora si è dibattuto se sia possibile suddividere lo spazio più finemente della lunghezza di Plank di 1,616. m. o il tempo al di sotto del tempo di Plank di secondi. Del resto l’ipotesi del continuo, come subito vedremo facendo una digressione, per riprendere poi il discorso, può essere vera , ma anche falsa. L’ipotesi del continuo è un enigma, cioè rimane aperta: da una parte l’ipotesi del continuo vale, dall’altra non vale.
Dunque non possiamo decidere, manca cioè la certezza matematica ( vedi anche il teorema dell’incompletezza di Kurt Godel), inoltre Paul Cohen ( 1963) riesce a dimostrare che non è possibile accettare l’ipotesi del continuo per gli insiemi infiniti non numerabili o non costruibili. Per “costruire” un teorema dobbiamo possedere un certo numeri di assiomi. Gli assiomi li possiamo paragonare agli atomi. Vediamo in che senso. Per costruire una molecola d’acqua, tra i 92 atomi, dovremmo scegliere gli atomi giusti: 2 di idrogeno e uno di ossigeno. Se gli atomi non sono quelli giusti, conoscendo l’acqua, non possiamo costruire una molecola d’acqua. La scelta degli assiomi dipende da quello che noi vogliamo costruire. Un esempio, per costruire la geometria euclidea, dobbiamo accettare per buono il 5° postulato, secondo il quale la retta parallela ad una retta fissata e condotta per un punto è unica. Come facciamo però a verificare che le due rette non si incontreranno mai? È impossibile. Dunque, volendo ritenere valida la geometria euclidea dobbiamo accettare come vero l’assioma delle parallele, per cui non si richiede nessuna dimostrazione. Viceversa, se vogliamo costruire la geometria non euclidea, dobbiamo escludere il 5° postulato, perchè non vero: nasce cosi la geometria di Riemann o ellittica. Einstein non poteva costruire la geometria dello spazio tempo avvalendosi della geometria di Euclide. Ad Einstein serviva la geometria, tra le altre cose , di Riemann. La matematica è un mezzo, oltre che logico, potente, che serve per costruire una infinità di cose, ma noi dobbiamo avere la chiarezza di quello che vogliamo costruire: perché la scelta degli assiomi dipende in primo luogo da ciò vogliamo. Gli assiomi devono essere coerenti e non devono contraddirsi. Esempio emblematico è quello appena detto qui, cioè quello relativo alla geometria di Euclide e quella di Riemann. In termini generali l’assunzione assiomatica, da cui fare discendere un certo teorema, è valida se esso ( teorema) è una conseguenza logica di tale assunzione. Attenti però. Tale assunzione potrebbe indurci in giro vizioso, in una tautologia, nel senso che, potrebbe accadere, la dimostrazione di un teorema consiste nel far vedere che esso è una conseguenza logica necessaria di alcuni assiomi precedenti, che a loro volta devono essere dimostrati, e cosi via. Tale procedimento potrebbe in altre parole condurci ad un’impossibile regressione all’infinito, a meno che non decidiamo di fermarci ad un certo punto. Praticamente, per non rischiare di cadere in trappola, i postulati o gli assiomi devono essere presi in numero non troppo grande, coerenti, per cui è possibile assumerli come veri, da cui costruire un teorema con un ragionamento puramente logico. L’ipotesi giusta, la partenza, è fondamentale per raggiungere lo scopo, il punto di arrivo, la tesi, dimostrato con rigore logico all’interno di un processo di ragionamento logico per cosi dire reversibile, che deve cioè diventare la condizione necessaria e sufficiente affinché sia l’ipotesi che la tesi diventino praticamente equivalenti, ovvero, vere entrambi. A parte altre implicazioni di natura differenti,persino di ordine filosofico, l’obbiettivo è sempre quello, raggiungere lo scopo, il “bersaglio”. Certo, in questo ambito in particolare scientifico, l’implicazione filosofica troverà poco spazio, ma serve, seppure come stimolo intellettuale. Riprendo il discorso, rimarrebbe il nostro spirito, come unica entità capace di rappresentare il continuo. Sotto questa ipotesi, il continuo è definito come una successione di entità “vuote”, come cioè entità che… non si vedono, … ma che esistono: i ricordi, per esempio. I ricordi che ci riportano nel passato. I ricordi, più lontani, all’improvviso sembrano emergere dal nulla, dal vuoto.
Ricordi, per cosi dire, come entità inesistenti, ma che all’improvviso emergono come entità reali, connessi allo spazio –tempo, la cui struttura geometria è non euclidea. La geometria dello spazio tempo è “dinamica”, come del resto Felix Klein nel 1872 , nel suo programma di Erlangen, auspicava. Entità, lo spirito o la coscienza, “vuote” ma esistenti. Le nostre percezioni,ricordi, sentimenti, e cosi via, come realtà esistente, pur non potendo essere invocata per risolvere un’impossibilità matematica, quella del continuo. Il nostro spirito, la coscienza, i ricordi, legati allo spazio-tempo, potrei immaginarmeli, per rendere meglio l’idea della mia riflessione intellettuale, ai “ Monadi” dei Pitagorici, ma in questo caso senza dimensioni a differenza dei Pitagorici, secondo i quali i Monadi erano considerati corpuscoli tutti uguali ed indivisibili. Il punto di un segmento secondo i pitagorici era assimilabile ad corpuscolo. I punti cosi di un segmento non solo erano numerabili, ma due segmenti diversi erano commensurabili, il cui rapporto dava cioè infatti sempre un numero razionale. Naturalmente questa asserzione risultò contraddittoria. Contraddizione rivelata degli stessi Pitagorici, cioè paradossalmente messa in evidenza proprio applicando il teorema del loro maestro, Pitagora, scoprendo cosi i numeri irrazionali. Essi, i Pitagorici, non conosceva però ancora la geometria dello spazio-tempo e il suo reale significato fisico. Tuttavia il loro senso, e anche il nostro, del commensurabile, (l’immanente), sono più conforme alla comprensione umana, rispetto all’idea dell’incommensurabile (il trascendente). Riepilogando rispetto ai Monadi dei Pitagorici, il nostro spirito , la coscienza, i ricordi, i dialoghi, le percezioni e cosi via , per cosi dire, potrebbero essere “Monadi” reali, ma senza dimensioni:” pensiamo, dunque siamo”. Nessuno ha ancora messo in evidenza che nostri pensieri e sentimenti sono incompatibile con la spazio tempo. Anzi, di certo, noi siamo legati allo spazio tempo. I “Monadi”, pensati nel nostro caso senza dimensioni, cosi ora mi piace definire i nostri sentimenti, i pensieri, che però andrebbero verificati all’interno dello spazio-tempo e della sua geometria, non certo all’interno dello spazio e del tempo pre-einsteiniano. Ripeto questa mia considerazione, quella sullo spirito umano, è solo un riflessione intellettuali un piacere, se volete, un stimolo a ricercare la vera natura intrinseca del nostro spirito o del nostro stato cosciente, dei nostri sentimenti, dei nostri ricordi e cosi via. Ma è possibile? La coscienza esiste, …ripeto :”penso, dunque sono”, diceva René Descartes ( Cartesio 1596-1650). Ma avendo finito la mia riflessione intellettuale, una sorte se volete, di volo di fantasia e ritornando alla realtà con piedi per terra, mi chiedo cos’è la coscienza o il nostro spirito? Resta ancora un enigma, almeno dal punto di vista della vera scienza, non certo per la teologia, che per la verità ha sempre visto il corpo e lo spirito come due cose distinte. La fisica non tratta punti senza dimensioni, secondo essa il punto ha un’estensione. Infatti la realtà fisica tratta atomi e la loro struttura. La costante di azione h di Plank, nonostante sia un numero piccolissimo, se fosse uguale zero, crollerebbe tutta la fisica quantistica. La teologia tratta lo spirito, quello umano e quello Divino, indipendenti dagli atomi e della loro struttura, e, comunque, in qualche maniera, a noi sconosciuta, Divino, anima e corpo devono essere interconnessi tra loro. Giacché sono in tema sul continuo, che può esistere oppure no, voglio richiamare l’attenzione degli studenti, ove essi non avessero chiarezza sull’assunzione, in analisi matematica, dell’ipotesi di esistenza e di infinita divisibilità, del continuo. L’assunzione di questa ipotesi permette alla matematica differenziale di dare risposte precise ( o approssimabili fino al più alto grado di precisione, però non fino all’infinito ) su fenomeni e su problemi riscontrabili attorno a noi. Viene da chiedersi: come mai la matematica infinitesimale, impostata sull’ipotesi del continuo, funziona cos’è bene, se il continuo potrebbe non esistere? Attenzioni, studenti! Esistono due matematiche di pari rispettabilità: quella di Cantor o del continuo e quella non di Cantor, per cui l’ipotesi del continuo non vale. Ricordo sempre che i numeri sono estrazioni, inventati sempre dalla nostra mente, mettendo in opera l’intelligenza e la consapevolezza. Ora immaginiamo per esempio di poter dividere un elettrone fino all’infinito.
Alla “fine”- fine però mai raggiungibile né verificabile- cosa rimarrà dell’elettrone? Nulla? Il mio intuito dice no, indipendentemente dal fatto che l’energia né si distrugge né si crea. Non tanto, per questo riscontro fisico, ma per il fatto che, sebbene ipoteticamente l’elettrone fosse possibile di dividerlo in infinite parti, alla fine di questo percorso, lo ripeto, irraggiungibile, qualcosa dell’elettrone dovrà pur restare, diverso da zero o dal vuoto.
Lo stesso deve accadere per i numeri irrazionali, sinonimi di irragionevoli o illogici, composti di infinite cifre decimali: =1,41421356237309504880168872420969807856….., Tuttavia non possiamo dirlo. Noi non possiamo accedere fino all’infinito. Idem per due rette parallele: non è possibile dire con certezza che non si incontreranno mai. Del resto il numero irrazionale , ( lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo) si trova applicando la geometria euclidea, non certo la geometria non euclidea, che la fisica ha adottato da Einstein in poi. Quindi , oltre ad essere un’astrazione, all’interno dello spazio-tempo potrebbe differire sensibilmente. E’ attinente con la realtà fisica? No, perché una precisione infinita, fisicamente, è impossibile. Stesso discorso vale dal punto di vista della realtà fisica per tutti i numeri irrazionali, compreso il famoso pi greco . Facciamo un esempio con il numero 1,561 = 1+ , Poniamo che esso rappresenta la lunghezza di un segmento. Prendo un segmento per esempio di 2 m, lo divido in parti segmenti uguali, il primo e un secondo segmento hanno una misura unitaria. Inizio a dividerle il secondo segmento unitario in dieci parti, di cui ne prendo 5; poi prendo la sesta parte delle dieci parti e la divido per 100, di cui ne prendo 6; infine prendo la settima parte delle cento parti e la divido per 1000, prendo una sola parte e cosi via, però non arriverò mai fino al reale infinito ( attuale). E cosi che nascono le serie, l’infinito potenziale. Per esempio il numero sviluppabile come una “ funzione” numerica: = 1+ +…… In pratica la radice quadrata di due si calcola, costruendo la serie convergente geometrica. = 2 = 2 Vedi in particolare la serie f(x)= con x‹ 1 In generali, se al posto dei numeri mettiamo una variabile, la successione dei numeri, prenderà il nome di funzione ( serie di funzioni). Una variabile in realtà rappresenta un numero o più numeri reali. Non dimentichiamoci dei numeri immaginari! Siamo sicuri che procedendo, come prima, fino all’infinito riusciremo a creare un segmento, la cui dimensione si ridurrà al un punto senza dimensione, al vuoto? Nessuno lo può dire, tranne il Divino. Il mio spirito ( l’intuito) mi dice di no, poiché portare a zero un segmento significa farlo scomparire, il che è impossibile. Fisicamente il nulla non esiste. Però mio giudizio vale niente, se alla base intuitiva non c’è una dimostrazione. Il mio giudizio , in questo caso, è simile a quello di Kant con i suoi giudizi a priore. È vera la seguente identità: = 0? Con N numero grande a piacere che non sia l’infinito. L’intuizione mi dice di no. Ma,.. si “sa”: dinnanzi a Dio, Infinito Assoluto, tutte le cose sono uguali. Sono Lui inoltre dal nulla ha potuto o può fare nascere qualunque cosa.
Russell, con ragione umana, mostrò che è impossibile ottenere qualcosa dal nulla.
Forse, noi umani, ci fidiamo troppo dei numeri come estrazioni, nel senso che perseguendoli, talora, ci sfugge di mente la realtà fisica? No. L’invenzione della matematica, per quanto astratta possa essere, è stato messa nelle condizioni dall’intelligenza umana, pian piano attraverso i secoli da Epimenide ( VI a. C.) ai giorni nostri, di mostrare la sua logica, ha permessa alla nostra mente di percorrere due cammini paralleli, l’immanente e il trascendente, passando cioè attraverso i vari livelli di infinito, tra questi in particolare quello potenziale, il più basso tra l’insiemi infiniti, si “ arriva” all’’infinito assoluto. È l’infinito potenziale, adatto, a descrivere i fenomeni naturali, ovvero la realtà fisica. Il secondo cammino, il trascendente, connesso intrinsecamente alla natura umana, va sempre oltre, senza “fine” e quindi in ogni istante secoli dopo secoli, tutti, chi di un modo chi in altro, possono esprimersi: il pensare quotidiano nelle sue forme diversissime sia sul piano culturale e filosofico: la filosofia dell’uomo comune, persino di quello che non sa né leggere né scrivere, la filosofia dell’intellettuale come arte della conoscenza, del sapere. Sorprendentemente, ma non tanto, lungo questo percosso l’uomo di scienza, in particolare da Galileo in poi, ha potuto segnare tappe, dove la filosofia smette di “esistere” per diventare scienza vera. Poi il commino continua: nuova tappa, ivi la filosofia smette “ di esistere” per diventare scienza vera e cosi via nel tempo e nello spazio. Cosi l’uomo con naturalezza riesce a fare due cose insieme, in parallelo, “ scruta” l’immanente.( “l’infinito potenziale”) e “ guarda” o contempla il trascendente ( “l’infinto Assoluto”). All’interno di essi, tra l’immanente e il trascendente, si trova di tutto, in particolare la natura con le sue leggi, gli atei e i credenti, atti di non fede e di fede. E, sorprendentemente, questa, si, è vera sorpresa, la nostra natura immanente ha scoperto, senza saperlo, che la matematica, per quanto potente e logica, è , non è in grado di descrivere la trascendenza di Dio, coerentemente con le opinioni di tutti, compresi gli uomini più illustri, tranne per certi versi gli illuministi più ortodossi, che pensavano potessero spiegare tutto attraverso la ragione. E, dunque, tutto sembra un progetto logico , globale e in particolare “pensato”. Vedremo come anche la natura offre spesso due aspetti distinti e apparentemente diversi come la doppia natura delle particelle, come il fenomeno dell’elettromagnetismo, delle quattro forze fondamentali che regolano l’universo, che la vera scienza, a modello forse dall’unicità di Dio, spera di unificare le quattro forze in un’unica forza, da cui tutto avrebbe avuto origine, e al di sopra della quale vi è l’Assoluto, di fronte al quale la matematica, con il suo rigore logico, si trova nell’impossibilità di decidere in relazione anche all’ipotesi del continuo: c= = +X , con c numero cardinale del continuo, cioè l’insieme dei numeri reali, e inteso come un Alef zero, cioè il primo cardinale, il più piccolo numero transfinito, dell’insieme dei numeri interi, X = numeri irrazionali. X è un infinito superiore a tutti, per cui si può trascurare: si può dimostrare. Inoltre con c› , essendo il numero dei reali più grande del numero degli interi, come ha dimostrata Cantor, ne discende che i numeri reali non possono essere numerati( noi contiamo infatti usando i numeri interi naturali, che in questo caso non sono sufficienti, nonostante siano di numero infinito). Ma quante è esattamente il numero delle parti possibili che si possono formare da un insieme dato formato da elementi, contenuti per esempio tra 0 e 1? Sono c= , basta usare la formula del binomio di Newton che includa l’insieme vuoto (1+1 , anziché la nota formula con k sottoinsieme, in relazione al calcolo combinatorio, cioè richiesta dal fatto che, dato per esempio un insieme M formato da 3 numeri M= ( 2,3,4), si possono formare otto sottoinsiemi ( vedi insieme delle parti) distinti : ( 0), (2), (3), (4), (2,3), ( 2,4), (3,4), (2,3,4) ( 2,3,4)= 8= . Quindi c= ( cardinalità c) rappresenta il numero totale di tutti i possibili sottoinsiemi che si possono formare, partendo un insieme dato formato da numeri, anziché 3 come dall’esempio. Se l’insieme dato di partenza è c ,cioè quello che comprende tutti numeri reali che formano il continuo , il numero totale dei sottoinsiemi distinti diventa X = . Per chiarezza si definisce insieme delle parti, anche insieme potenza, di un insieme M dato, l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di M e si indica P(M) , che non è altro che uguale a c= . Se N è un insieme finito, ovvero contiene N elementi, allora P(N) contiene elementi. Usando il linguaggio dell’insiemistica si scrive:
P(M) = { X : X M }

Leggiamo: P(M) è l’insieme di tutti quegli elementi X tale che X è contenuto nell’insieme M.
In pratica P(M) sceglie elementi di M e genera elementi di X distinti, che essendo distinti sono numerabili, il che ci dice che possiamo formare una classe o successione di elementi. In parole povere P(M) è funzione di M, che rappresenta il codominio o immagine del dominio M , ( si ricordi che quando tra due insieme esiste una corrispondenza biunivoca i due insiemi si dicono EQUIPOTENTI) cioè i due insiemi possiedono lo stesso numero di elementi o hanno la stessa potenza. È qui che la nostra mente viene fortemente disorientata e condizionata dal nostro senso comune. Infatti dati due segmenti AB, posto per esempio sull’asse delle X e CD, posto sull’asse delle Y, con AB maggiore di CD: Se ora ci venisse chiesto quale dei due segmenti contiene più punti o numeri reali, la nostra comune risposta quale sarebbe? La più ovvia: contiene più punti il segmento più grande. La risposta è Falsa. I due segmenti contengono gli stessi punti o numeri reali. È paradossale che una parte contenga il più grande, il tutto. Attenti però! La potenza dei numeri, non la dimensione. Potenza e dimensione sono concetti assolutamente diversi. E’ una caratteristica degli insiemi infiniti la proprietà di potersi mettere in corrispondenza biunivoca con una loro parte propria diversa dall’insieme vuoto, detto banale. Per renderci meglio conto mettiamo a confronto l’insieme dei numeri naturali e loro sottoinsiemi dei quadrati perfetti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ……………= 1, 4, 9, ……………………= Sebbene i numeri naturali sembrino molto più “popolosi” dei loro quadrati perfetti, i numeri naturali possiedono tanti elementi quanti ne possiedono i quadrati perfetti, cioè proprio perché sono equipotenti. Invece non è possibili contare i numeri irrazionali, essi sono infinitamente più numerosi dei numeri razionali compresi i numeri naturali: è la grande scoperta di Cantor. Il nostro senso comune non ha la possibilità di “ vedere” mai insiemi infiniti né di capire come dal nulla è potuto nascere lo spazio-tempo. Nell’ambito di questo contesto, l’infinito e il nulla, apparentemente, due concetti cosi distanti ed opposti, ma assoluti, solo Dio può cogliere ed unificarli. La fisica si trova nell’impossibilità di trattare il nulla e l’infinito, in particolare quello Assoluto. Del resto la nostra intelligenza è capace di analizzare l’infinito potenziale, cioè quello che definisce una grandezza, grande, grandissima, a cui possiamo aggiungere altre quantità, una dopo l’altra, senza però riuscire mai a raggiungere l’infinito, quello attuale. La fisica opera attraverso l’infinito potenziale e i numeri transfiniti. Ci si potrebbe chiedere cosa facesse Dio prima che creasse il mondo, all’interno di uno “spazio” senza nulla e infinito? La risposta di Santo Agostino è netta: “ Dio, eterno, è fuori dal tempo. Creando L’universo, ha creato anche il tempo; senza la sua creazione il tempo non sarebbe mai esistito” . Einstein ha scoperto che lo spazio e il tempo formano un’unica entità relativa, senza lo spazio non poteva esistere il tempo e viceversa. Lo spazio -tempo è definito come un’entità unica, qualcosa di elastico, potendosi dilatare e contrarsi: insomma un vero “concentrato” di energia. In fisica “nulla” ha il significato di assenza di materia o di energia e di conseguenza assenza di spazio-tempo. Ma, cos’è realmente il vuoto, oltre la realtà fisica? Se la teoria, in parte comprovata, del il big bang è vera, lo spazio e il tempo sono nati nello stesso istanti, in questo senso, la tesi di Santo Agostino resta confermata dalla fisica. Papa Pio XII nel 1951 in relazione della teoria del big bang, rivolgendosi all’Accademia Pontificia delle Scienze, disse: “ Tutto sembra indicare che l’universo abbia avuto un poderoso inizio in tempi finiti”.
Volendo cosi intendere che per certi aspetti il big bang confermasse il “racconto” biblico sulla creazione o meglio un inizio, avvenuto in un modo molto energetico. Va notato però che si trattò di una vera esplosione simile ad una bomba che esplode, ma di una poderosa espansione. Non tutti i teologi però si trovarono d’accordo con Pio XII. La fisica si trova nell’impossibilità di decidere, partendo dall’istante zero, “istante” in cui lo spazio era infinitamente contratto ed ivi il tempo finiva di esistere. Questo estremo limite assoluto è detto singolarità. Insomma nessuno sa, e credo non saprà mai, come dal nulla ha potuto nascere lo spazio-tempo. Solo attraverso la matematica si sta tentando di descrivere fenomeni cosi estremi e del tutto inafferrabili ( nulla e infinità), nonostante essa sia nata dal cervello dell’uomo. Si tratterà pur sempre però di capire quale fosse l’istante preciso dopo la singolarità. È un vero rompicapo, dovendo trovare il numero che viene immediatamente dopo lo zero, cioè il numero più vicino allo zero. Per la mente umana è impossibile. Si tratta, quindi, di decidere su un tratto di spazio, accompagnato dal tempo, non zero, ma infinitamente piccolo, tanto da ingannare i nostri comuni sensi. Dunque non è possibile ragionare semplicemente, ma ragionare insieme alla matematica, cercando di costruire modelli più raffinati. Un esempio, quello , sempre che sia possibile, di unificare fisica quantistica e relatività generale di Einstein. La relatività generale è nata dall’intuito profondo di Einstein servendosi della matematica non euclidea. Gli infiniti inganno il nostro senso comune, a giusta ragione: noi ragioniamo con mente umana, Dio ragiona invece con mente infinita. Tuttavia ciò dimostra come attraverso la matematica, dalla quale la scienza vera si nutre, è possibile concepire cose che stanno fuori del nostro senso comune, ma dimostra anche la grandezza della mente umana, perché la matematica e la scienza vera sono frutto dell’intelligenza dell’uomo, prodotto, nello stesso tempo, genuino del creato.
Riprendo il discorso sui numeri, il numero cardinale successivo a , nella successione 1,2,3,….. , ,……, . Si chiede : c= ? Questa equazione rappresenta l’ ipotesi del continuo.
Essendo < = , leggiamo, come Cantor riteneva: è il successore immediato di e = , per deduzione logica tra e non possono esserci altri numeri o altri alef. . È quello che Cantor pensava: cosicché la matematica del continuo era vera, in caso contrario, non vera. Il dibattito era, lo è anche oggi, su due matematiche, quella del continuo e del discontinuo, comunque, di pari rispettabilità. Cosi Cantor, senza dimostrazione, congetturò che l’ipotesi del continuo era vera. Kurt Godel ( 1940) dimostrò che la congettura di Cantor non può essere confutata. Infine Paul Cohen ( 1963) dimostrò che non può essere nemmeno dimostrata. Nascono cosi due matematiche, quella secondo la quale l’ipotesi del continuo è vero, e, viceversa, non vero, similmente come le due geometrie, quella di Euclide e quella di Riemann, cioè nel primo caso il V postulato è vero, nel secondo caso il V postulato non è vero. Ciò in certo senso mi fa venire in mente una cosa, che anticipo : un elettrone per esempio è un corpuscolo o un onda? Una volta onda, una volta corpuscolo, mai le due cose insieme: è ciò che “dice” la sperimentazione, come vedremo. Formano per caso un’unica realtà? Una sorte di due aspetti in uno, che sembra ricordare, per certi aspetti, alla bi-locazione, parola usata più propriamente dalla teologia, che dice che una stessa persona può trovarsi nello stesso istanti in due luoghi diversi e distanti tra loro? Ci troviamo di fronte a fenomeni più che sottili, a veri misteri molto profondi e nello stesso di fronte a diversi livelli di infinito, al di sopra dei quali esiste quello Assoluto ( Dio?) . In fondo un universo senza misteri, siamo sinceri, non piacerebbe a nessuno. Tutto fa pensare ad una logica globale! La parola ebraica, Alef, denota l’infinito e rappresenta per i cabalisti la natura infinita e l’unicità di Dio. Il grande matematico David Hilbert ( 1862-1943) dice: “ Nessun’altra questione ha scosso da tempi immemorabili la mente degli uomini quanto quella dell’infinito. L’infinito ha agito in modo cosi eccitante e ricco di frutti sull’intelligenza come poche altre idee. Però l’infinito ha bisogno di spiegazioni più di qualsiasi altro concetto” . Il concetto di infinito e dell’infinitesimo, infatti, a parte la sua origini in relazione all’infinità dei numeri naturali, entra nel vivo del dibattito matematico-filosofico, dopo la scoperta dei numeri irrazionali e, dunque, con pitagorici, dell’esistenza dei rapporti incommensurabili, come abbiamo visto prima. Nello stesso tempo scompare il concetto di punto esteso ( vedi i Monadi) e nasce il concetto primitivo ( l’assioma) di punto senza dimensione, e quindi l’ingresso dell’infinitamente grande di punti in un tratto di segmento, per quanto piccolo che fosse, e l’infinitamente piccolo, il punto, ente primitivo senza dimensione. I due concetti dell’infinito grande e di quello piccolo che, non essendo pienamente compresi, inevitabilmente portarono a contraddizioni, a paradossi ed errori, e quindi furono oggetto di critiche da parte dei filosofi e matematici greci. D’altra parte stimolarono le loro menti, quelli cioè dei filosofi e dei matematici, indirizzandoli verso la ricerca di procedimenti più logici e rigorosi. Vagliamo ricordare il famoso paradosso di Zenone di Elea ( 495-435 a. C.), discepolo del filosofo greco Parmenide. Egli sosteneva che il concetto di infinito, annidandosi sia nella azione di movimento sia nella nozione di pluralità, fosse da respingere perché assurdo. Va ricordato, a questo proposito, che Il maestro di Zenone, Parmenide, sosteneva filosoficamente che esisteva una irremovibile contrapposizione tra essere e non essere. L’essere, per Parmenide, era la realtà, invariabile, unica, immobile ed eterna. Zenone con il suo paradosso mirava a difendere la filosofia del suo maestro. Inoltre il paradosso di Zenone è significativo per capire certe contraddizioni che si aprirono all’interno della matematica. Vediamo cosa Zenone sosteneva a difesa del suo maestro. Zenone si era ideato una gara fittizia tra il veloce Achille e la tartaruga. Per capire meglio vediamo come. Supponiamo che di porre il traguardo di arrivo nel punto zero e il punto di partenza di Achille nel punto uno (1), posto a destra del punto zero. Alla tartaruga viene dato un certo vantaggio iniziale, ponendola per esempio nel punto ½ . Inizia la gara. Quando il veloce Achille raggiungerà il punto di mezzo ( ½), ammettiamo, la tartaruga si sarà spostata nel punto un quarto ( ¼) . Achille, quindi, accorcia il vantaggio iniziale della tartaruga. La gara continua. Quando Achille si troverà nella posizione ¼ la tartaruga si troverà nel punto 1/8, quando Achille sarà nella posizione 1/8 la tartaruga sarà nella posizione di un 1/16 e cosi via anche fino all’infinito. Achille, pur Accorciando la distanza che lo separa dalla tartaruga, tale distanza non sarà mai zero. Da questa fittizia gara, possiamo trarre due paradossi contrapposti: la somma di infiniti passi da somma infinita e poiché la gara avviene nello spazio finito tra 0-1,a

quindi, viceversa, una somma infinita di passi da una somma finita. È possibile che: l’Infinito = al finito? Ecco il paradosso!!
Quindi Zenone conclude che il veloce Achille non potrà mai raggiungere la lenta tartaruga. Non solo, se Zenone avesse richiesto di percorre tutti i punti di una retta, né Achille né la tartaruga avrebbero mosso nemmeno un passo, potendo cosi concludere che il movimento sarebbe stato impossibile. Infatti, dovendo sia Achille che la tartaruga trovare il numero o il punto più vicino ad un ½ ( punto di partenza della tartaruga, e Achille il punto più vicino ad uno. Anche se Achille fosse in grado di correre alla velocità della luce o addirittura del pensiero, mai raggiungerà il numero più vicino ad uno. Entrambi, Achille e la tartaruga sarebbero rimasti immobili. Zenone però non conosceva ancora né le serie, in particolare, convergenti né il concetto di limite o meglio il passaggio al limite.
Infatti ½+1/4+1/8+1/16+……..è una serie geometrica, il cui limite per n tendente all’infinito è 1, come sappiamo calcolare oggi. Eppure Zenone scopre che uno è la somma di ½+1/4+……..
Nel dubbio, ci si potrebbe chiedere come possibile “contare”, per cosi dire, se non è possibile contare numeri reali (o quelli del continuo) in un modo simile ai numeri naturali ? Introducendo in generale una relazione d’ordine, ( vedi l’assioma della scelta, con proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva) cioè, per esempio, x = y, ovvero y-x = variazione = resto= intervallo= misura= dimensione. Tali intervalli hanno come estremi due numeri distinti, similmente ai numeri naturali 0,1,2, 3……..N: se volessimo accoppiare tutti numeri naturali a due a due, distinti tra loro, le combinazioni possibili sarebbero uguali . Cosi possiamo ottenere un insieme di numeri a due a due disgiunti e la possibilità di confrontare tali numeri è equivalente ad un particolare modo di scegliere, noto come assioma della scelta. Dunque l’assioma della scelta è equivalente al buon ordinamento. Per esempio, un mezzo di scelta è quello di costruire una funzione biunivoca e invertibile, come f(x) = , per cui la funzione f(x) “sceglie” tra l’insieme x, diciamo sulla retta dei reali X, un insieme f(x), compreso tra ( o,1) , tale che l’insieme contenuto nell’intervallo aperto ( 0,1) ha le stessa cardinalità di X, cioè dei reali R. L’insieme x non rimarrà mai vuoto: x possiamo definirlo, usando un termine molto suggestivo, un “ sacco senza fondo”piano di oggetti: immaginando di tirare fuori continuatamene oggetti, il sacco rimarrà sempre pieno. Nell’intervallo (0,1) vi sono c= numeri irrazionali. Infatti sia 0,abcd……un numero generico irrazionale, i numeri irrazionali sono determinati dalla loro espansioni decimali nelle quali ci sono cifre scelte ciascuna da un insieme di 10 possibilità. Dove è il numero dei numeri interi di Cantor, detto alef zero. In parole povere nell’impossibilità di prendere tutti i punti della retta reale, in particolare i successivi immediati di qualsiasi numero, siamo costretti a suddividere la retta in parti, le cui parti sono sempre compresi tra due numeri distinti, la cui combinazioni a due a due è insieme potenza X = . Si ottengono cosi le infinite parti, che a loro volta contengono infiniti punti. Inoltre siamo cosi in grado di costruire infinite successioni di numeri o classi numerabili, come: f(x)= La prima successione di numeri si ottiene per x = la seconda per x= poi la terza e cosi via , procedendo nello stesso modo si ottengono infinite successioni o classi di numeri . l’intervallo per esempio ( ) contiene infiniti numeri e corrisponde all’intervallo ( ) , che a sua volta contiene infiniti numeri. Se i numeri costituiscono un alef, cioè , insieme potenza è c= . Come non è possibile, praticamente, prendere il numero immediato dopo lo zero, cosi non è possibile prendere il numero immediato dopo un qualsiasi numero, in altri termini siamo costretti cosi a seguire, per cosi dire, a salti, pur facendo salti infinitamente brevi!! Tra due salti successivi qualsiasi esistono sempre infiniti numeri. Per comprendere meglio, dovendo per esempio tracciare praticamente il grafico di una funzioni nel piano cartesiano, si esegue per punti, non è possibile però prendere tutti i punti. Per quanto i punti assunti siano cosi vicini, al limite, il grafico della curva non sarà mai perfetto. Persino il più potente dei computer non sarebbe in grado di tracciare la curva di una funzione in modo perfetto. Immaginando di togliere tutti i numeri interi e razionali, sulla retta restano infiniti “buchi” numerabili e, tra due buchi qualunque, infiniti numeri irrazionali, non numerabili, la cui infinità è superiore all’infinità dei numeri naturali o razionali. Vedi più in là avvicinamento indefinito, ed elemento o numero separatore, cioè avvicinando per esempio i due numeri x e y tra loro, la variazione,- “la misura, l’intervallo, il resto, dimensione-” diminuisce, tuttavia all’interno dell’intervallo, cosi costruito, di estremi x e y, che per quanto piccolo sarà reso, vi saranno sempre infiniti punti, come di infiniti punti è formata una retta, cioè uno “ spazio” ( retta, piano, volume, ipervolumi) piccolo ed uno grande o infinito hanno sono identici: attenti però, solo dal punto di vista topologico. Infatti la lunghezza è una proprietà che investe la topologia. La topologia è lo studio delle proprietà geometriche qualitative, pertinenti alle figure piane, compresa la retta, spaziali che restano invariate quando si eseguono sulle stesse figure trasformazioni biunivoche e bicontinue, ovvero omeomorfiche. Dunque lo “spazio” ( x,y), esempio (0,1), limitato, ha una lunghezza diversa di (o,R)= ( 0,8), che invece non “ha”, essendo R infinita. Uno spazio topologico indicato generalmente come ( X,T) è un insieme X, dotato di una particolare classe T di sottoinsiemi di X soddisfacenti a certi assiomi. Con l’assunzioni di questi particolari assiomi è possibile costruire una topologia di spazi equivalenti. Da queste considerazioni si noterà come il concetto di dimensione o di lunghezza e di numeri (o di potenza) sono due concetti completamenti diversi. Cosi anche i due segmenti AB e CD con AB>CD, hanno misura diversa, ma contengono uguali punti, entrambi infiniti punti. Si tenga sempre presente che punto e numero reale sono intercambiabili. Inoltre le proprietà topologiche ( di insiemi aperti, di punti di accumulazioni, di insiemi chiusi, di completezza, continuità, connessioni ecc. ecc.) di una retta sono estensibili formalmente agli spazi topologiche a due o a n più dimensioni. Infatti la coerenza, la logica della matematica e della geometria ci permettano di ricondurre la loro “apparente” complessità alle dimensioni più basse e comprensibili, più conformi alla nostra esperienza. Dunque, nello nostro caso, però vale in generale, le proprietà topologiche della retta sono un’estensione logica e formale di quanto accade nelle dimensioni più alte, cioè in due, in n dimensioni e viceversa. E’ cosi che la matematica ci permette di “vedere”, di “capire” cose che vanno al di là della nostra esperienza comune. Visualizzare, per esempio, lo spazio-tempo a quattro dimensione è quasi o addirittura impossibile. Se portassimo “l’occhio” della mente oltre le quattro dimensioni, esso farebbe impazzire il nostro cervello. Ma la cosa non finisce qui, come la mettiamo con l’infinto Assoluto, l’infinito degli infiniti. Meglio fermarci qui! Domandiamoci ora: come è possibile , per esempio, fare la differenza fra due numeri irrazionali, visto che i numeri irrazionali, la cui parte decimale è costituita da infiniti numeri che non si ripetono periodicamente, cioè una successione infinita di numeri senza nessuna regolarità? I numeri irrazionali vengono di solito ridotti, approssimandoli, come limiti di successioni di numeri razionali o come partizioni dei razionali in quelli maggiori e quelli minori di tali numeri ( vedi serie, classi, sezione di Dedikind). Il problema lo creano i numeri irragionevoli, cioè gli irrazionali. Vedi più avanti un esempio di classi contigue di numeri. E’ con Eudosso di Cnido ( IV sec a. C.) che inizia intravedersi il concetto di limite. Eudosso infatti inventa il metodo, detto di esaustione, (oggi chiamiamo passaggio al limite), con il quale egli evita il ricorso diretto all’infinito, che tuttavia è implicito in questo metodo, fondato su procedimento indefinito ( vedi per es. un poligono inscritto in un cerchio, raddoppiando in modo indefinito il numero dei lati del poligono, il numero dei lati del poligono si avvicina al cerchio, sino a che il numero dei lati diventano tanto piccoli da confondersi con il cerchio stesso: la differenza fra il cerchio ed il poligono diviene sempre più piccola, cioè va via via esaurendosi (= esaustione), ovvero il poligono si avvicina indefinitamente al cerchio ). Ma Eudosso verrà giudicato come il più grande imbroglione dell’infinito della matematica greca. E dunque prevalse la soluzione proposta da Aristotele, espressa nella famosa condizione: “ Infinitum actu non dator = non è ammissibile un infinito dato in atto, da ciò la definizione l’infinito attuale, ovvero una grandezza infinitamente grande, cioè l’infinito vero. Da tale definizione deriva anche l’inammissibilità dell’infinitesimo attuale, cioè una quantità infinitamente piccola, il nulla. Archimede ( III sec. A. C.) non accettò il principio di Aristotele. Si dovette quindi aspettare il XVII sec. a che i matematici, come G. Cardano ( 1501-1576), in particolare Leibnitz ( 1646-1716) e Newton, introducessero di nuovo infiniti e infinitesimi potenziali. Nonostante le contraddizioni non mancassero, si aprirà da qui in avanti una nuova era verso il calcolo infinitesimale vero e proprio. Infatti all’inizio del 1800, Cauchy eliminò l’infinito e l’infinitesimo attuali, sostituendoli con i cosi detti infiniti e infinitesimi potenziali, indicando con questi ultimi il concetto moderno di limite, cioè “ tende all’infinito” e “ tende a zero” di una o più variabili, che gli studenti moderni delle medie superiori conoscono. Breve pausa di riflessione. Ci si chiede, Generalizzando e introducendo il passaggio al limite, come , ci si chiede : è vero sempre che |f(x)-l|= o, oppure, |f(x)-l| L’assioma di scelta non contiene nessuna asserzione su come si possa costruire in ogni singolo caso una tale funzione f(x), stabilisce solo la sua esistenza .
Si può dimostrare che, sotto le ipotesi della libertà di non contraddizione della teoria assiomatica degli insiemi, l’assioma della scelta è indipendente dagli altri, ovvero l’assioma della scelta può essere assunto e non assunto. In parole povere si può procedere in due modi: fissando degli assiomi, si possono costruire dei teoremi: la matematica che costruisce questi teoremi è detta ristretta. la matematica ristretta che include l’assioma della scelta, fa nascere la matematica “ modello” , cioè standard.
Nota: Ogni assioma scelto non deve essere l’uno la conseguenza logica dell’altro, cioè devono essere tra loro indipendenti.
Weierstrass ( 1815-1897), il quale mentre rivedeva il calcolo infinitesimale, riducendolo a procedimenti finiti, G. Cantor ( 1845-1918) reintroduceva il concetto di infinito attuale, riuscendo a confrontare tra di loro insiemi infiniti, dei quali considerava come dati in atto tutti gli elementi infiniti; seguirono altri tra più illustri matematici, oltre a quelli citati prima, come Godel, Paul Cohen, i quali hanno spiegato che una dimostrazione dell’ipotesi del continuo è impossibile, almeno all’interno di un particolare sistema, il che vuole dire che l’ipotesi del continuo resta aperta. I suddetti, illustri matematici, erano tutti credenti in Dio.
Infine ricordiamo in modo particolare in relazione alla concezione di Dio:
Santo Agostino ( 354-430 d.C.) nella città di Dio, che abbiamo citato prima,
Tommaso d’Aquino ( 1221-1274) che aveva tentato di dimostrare l’esistenza di Dio, partendo dell’idea dell’infinità di Dio;
Nicolò Cusano ( 1401-1464). Cusano, un ecclesiastico e un matematico, ideò una argomentazione basata sul concetto di limite, secondo la quale, senza saperlo, man mano che la conoscenza umana cresce, la stessa non riuscirà mai a raggiungere la conoscenza di Dio, allo stesso modo di un poligono inscritto,ovvero anche se il numero dei lati del poligono aumenta tanto, tale che il numero n dei lati tende all’infinito, il poligono, conclude Cusano, non sarà mai un cerchio.
Non va dimenticato Galileo, che, fra l’altro, è stato il padre fondatore della scienza moderna.
Rimane sempre il fatto che la matematica è un linguaggio logico, il linguaggio della natura. La matematica si può definire la “scienza” sublime: essa è la migliore interprete del mondo dei fenomeni, nei suoi molteplici e difformi aspetti.
È sorprendente il fatto che la natura teneva nascosto il dualismo corpuscolo -onda, mentre la matematica presentava in seno il dualismo continuo -discontinuo.
I due aspetti, quello corpuscolare e quello ondulatorio, oggi, sono l’uno o l’altro, come vedremo meglio. Domani, forse, riuscendo ad unificare i due aspetti in uno solo, essa stessa, la matematica, sarà pronta a descrivere l’ unicità dell’immanente, non certo L’unicità del Trascendente, Dio. Cosi potremmo,un giorno, dire che la matematica sarà la “copia identica” della natura immanente. È come se la matematica, in certo senso, non fosse “nata” dalla mente umana, ma fosse intrinsecamente legata già alla natura stessa, umana compresa. In chiusura di questo argomento, possiamo dire che la matematica diventa impotente d’innanzi a Dio. E’ sorprendente questa eccezione, ma non tanto, perché Dio è l’Assoluto, cioè l’infinito degli infiniti. Pensare, ripeto, che esiste un infinito superiore all’infinito, suona per noi umani come una cosa impossibile. Eppure, sappiamo, Cantor ha dimostrato che non bastano i numeri naturali- che sono infiniti- per contare i numeri irrazionali. Per capirci meglio i numeri irrazionali contengono un tipo di infinito superiore a quello che i nostri sensi comunemente tendono a concepire faticosamente. Adesso, riprendiamo l'elettrone
Immaginiamo che sia divisibile, cioè che abbia una struttura interna. Avere una truttura interna significa che è fatto di parti: in questo caso le parti hanno una dimensione, seppure infinitesima

Possiamo immaginare di dividerlo, in N parti o all'infinito. l'infinito è irraggiungibile
In questo caso, ad ogni parte infinitesima dobbiamo dare un nome, o meglio, ....una definizione reale o fisica. Per intenderci, per esempio, Giuseppe, ...Giuseppe è un uomo, una realtà fisica
in altre parole arriveremo, senza fine, di dare una successione infinita ( infinito potenziale) dei nomi. Nomi che hanno una realtà fisica.
troveremo che l'infinito ( il grande) o ogni parte infinitesima ( il piccolo) è un'entità fisica....Saremo costretti a rincorrere delle entità fisiche.
In questo percorso senza fine ....prima o poi saremo costretti ad invocare DIo. .....DIO è sul nostro cammino......siamo costretti a dire che il nulla non esiste, come non esiste l'infinito: ...
Il bello è :...
.....sia il nulla ....che... l'infinito rimangono... comunque e sempre... nella nostra mente ..
L'ipotesi è : che noi ragioniamo con mente umana.
Quale è la morale, in qual volta in matematica , nella rappresentazione di una realtà fisica, compariranno degli infinito o gli zeri, ...dobbiamo pensare che la teoria in questione non è perfetta in assoluto
........a domani